化繁為簡之等差數列

2020-09-13 吉林中公事業部

縱觀近幾年的數量關係題目考察內容,我們可以發現考察最多的是「計算問題」。就「計算問題」而言,近四年分別考察了整除、比例、雞兔同籠、不定方程、周期循環、等差數列、分段計算、十字交叉等。這些內容都是我們數量關係中最基本的一些知識點,需要各位給考的同學們對此要有一定的了解。這些內容當中會涉及到很多公式,需要各位記憶。而直接的記憶又略顯困難,所以我們通過系列文章,給大家化繁為簡梳理一番。

首先談一談關於等差數列的內容:

什麼是等差數列?如果一個數列從第二項起,每一項與它的前一項的差等於同一個常數,這個數列就叫做等差數列。這個常數叫做等差數列的公差,公差常用字母d表示。例如:1 3 5 7 9。

觀察上述數列,第一個數字我們稱之為首項(表示為:a1),最後一個數字稱之為末項(表示為:an),上述數列有5個數字,則稱之為項數(n=5),即有5項,中間位置的項稱之為中項(表示為:a中=a3=5。我們仔細觀察中間項,這個數列總共5(奇數)項,中間項是第三項,且第三項大小也是這個數列的平均數。若將數列調整為:1 3 5 7 9 11,此時我們發現數列變成了6(偶數)項,則不存在具體中間的某一項,而是成了中間兩項(第三項和第四項)。若將這中間的兩項求平均數為6,依然是整個數列的平均數,也是首項和末項(1和11)的平均數。由此可以發現,不論奇數項還是偶數項,中間位置數字大小都是整個數列的平均數。

之於考試,我們從歷年考察內容總結而言,主要有兩點:項、項數以及公差之間的關係(通項公式)和求和關係。

考點一:項、項數以及公差之間的關係(通項公式)

以上述數列:1 3 5 7 9為例,第一項(a1)跟第二項(a2)之間相差2(一個d的大小),第一項(a1)與第三項(a3)之間差4(兩個d的大小),第一項(a1)與第四項(a4)之間相差6(三個公差的大小);再觀察第二項(a2)與第三項(a3)之間相差2(一個公差的大小),第二項(a2)與第四項(a4)之間先查4(兩個公差的大小)。總結其中的規律:任意兩項之間相差的數值大小等於項數下角標(項數)的差值個公差。如a4與a11之間的關係為:a11-a4=(11-4)d。

考點二:求和關係

以上述數列:1 3 5 7 9為例,求該數列的和等於多少?

我們暫且不把這個數列當作等差數列來看待,而當作任意的一串數字。若一串數字求和,會怎麼去計算呢?

兩個角度考慮:其一,把所有數字加在一起;其二,若知曉這串數字的平均數,則可以平均數乘數字個數,也可以等於和。

相關焦點

  • 等差數列知識點與考點總結
    等差數列的通項公式及前n項和公式中,涉及到5個元素首項a1、公差d、序號n、第n項an、前n項和。其中首項a1與公差d稱作為基本元素。只要已知這5個元素中的任意3個,便可求出其餘2個,即知3求2。解決等差數列問題時,通常考慮兩類方法:①基本量法:即運用條件轉化為關於首項與公差的方程;②巧妙運用等差數列的性質,一般地運用性質可以化繁為簡
  • 高考數列問題的根(等差數列),抓住才能輕鬆解決數列問題
    (3)若{an},{bn}均為等差數列,且公差分別為d1,d2,則數列{pan},{an+q},{an±bn}也為等差數列。(4)在等差數列中,按序等距離取出若干項也構成一個等差數列,即an,an+m,an+2m,…為等差數列,公差為md.
  • 等差數列知識點總結
    等差中項等差中項即等差數列頭尾兩項的和的一半,但求等差中項不一定要知道頭尾兩項. 在等差數列中,等差中項一般設為Ar.當Am,Ar,An成等差數列時,Am+An=2Ar,所以Ar為Am,An的等差中項,且為數列的平均數,並且可以推知n+m=2r,且任意兩項am,an的關係為:an=am+(n-m)d,類似地pn=pm+(n-m)d,相當容易證明.
  • 等差數列、等比數列性質的靈活運用
    an,不易突破  技巧與方法  (2)問由式子得=4,構造等差數列{},從而求得an,即「借雞生蛋」是求數列通項的常用技巧;(3)問運用了函數的思想  解  (1)設y=,∵x<-2,∴x=-,即y=f--1(x)=- (x>0)(2)∵,∴{}是公差為4的等差數列,∵a1=1, =+4(n-1)=4n-3,∵an>0,∴an
  • 等差數列的性質
    等差數列的性質在聯考中會經常考查,無論是下標和還是片段和求解,還是如何通過通項公式來判斷是否為等差數列,其實在19年的真題中就有一道提示通過前n項和來判斷哪個是等差數列的。       今天就帶大家學習等差數列的性質以及判斷,讓我們看看張老師在遇到等差數列的問題是怎麼快速秒殺的
  • [例題解析]等差數列與等比數列
    =2+3(n-1)=3n-1此時a42=a2a9不成立,故a1=2捨去所以an=3n-2例4.各項為實數的等差數列的公差為例7.設等差數列的首項及公差均為非負整數,項數不少於3,且各項之和為972,這樣的數列共有多少個?
  • 小學奧數-等差數列
    3.等差數列的基本公式:等差數列的和=(首項+末項)×項數÷2;公差=第二項-首項;項數=(末項-首項)÷公差+1;等差數列的第n項=首項+(n-1)×公差;的等差數列,首項是3,末項是99,要求這個等差數列的和還必須知道項數:項數=(末項-首項)÷公差+1.求出了項數,我們就可以根據求和公式求出和。
  • python計算等差數列
    :以下例子以python2.7為例。例如,求個100以內的正數和:print sum(range(1,101)),這樣簡單一句就可以了 。當然你會說用等差數列求和公式計算也很快。確實,以上的式子只能求簡單的等差數列和--公差為1。對於其他公差的等差數列怎麼辦呢?
  • 高中數學:等差數列、等比數列知識點總結
    1)d等差中項:x , A , y成等差數列: 2A=x+y前n項和:性質:{an}是等差數列(1)若m+n=p+q,則am+an=ap+aq ;(2)數列{a2n-1},{a2n},{a2n+1}仍為等差數列,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,等仍為等差數列,公差為n2d ;(3)若三個成等差數列,可設為a-d,a,a+d ;(4)若an,bn是等差數列,且前n項和分別為Sn,Tn,則
  • 關於等差數列的小技巧
    提到等差數列,我第一個反應就是求和公式,首相加末項乘項數除以二,這是我小學的時候記憶最深刻的,也就是下面這個表達式現在,我們具體來說一說等差數列。等差數列的證明有且僅有兩種,如下圖所示證明等差數列的兩種方式第一行,也就是定義:後一項減前一項始終為一個固定的常數
  • 等差數列解題技巧—基礎知識篇
    等差數列解題技巧—基礎知識篇等差數列是高中階段最基礎的兩種數列之一,是學好數列的基礎,只有真正掌握了等差數列,學習後面的數列求和以及求解數列通項公式才會比較輕鬆。在每年的高考題中也都會有等差數列的身影。因此,學好等差數列的重要性可見一斑。
  • 等差數列是小學階段最重要的數列,沒有之一
    數列中的每一個數稱為這個數列的項。數列的第一個數有一個特定名稱,叫首項。數列的最後一個數也有一個專用名詞叫末項。數列中所有數的總個數稱這個數列項數。在小學最重要的數列是什麼數列呢?等差數列是當之無愧的老大。那什麼叫等差數列呢?
  • 數量關係:萬變不離其宗的等差數列
    對於等差數列在中學時候其實我們就已經接觸過,在學習之前我們一起來回顧一下待會所需要的一些符號,所得的常數叫做等差數列的公差,用字母d表示,每一項常用am表示,下角標m代表的是數列當中的第幾項,如:第一項表示為a1 ,第二項表示為a2…,第n項表示為an;總的項的數量叫做項數,用n表示。
  • 行測數字推理之等差數列
    等差數列是指從第二項開始,後面一項與前面一項的差值為常數的數列,即後一項等於前一項加上某個常數。需要注意的是,這個常數在一個數列中是不變的。本題中5-2=8-5=3,,那麼( )-8也應該等於3,所以所求的數為8+3=11。故選B。
  • 小學奧數之等差數列的應用
    等差數列是指從第二項起,每一項與它的前一項的差等於同一個常數的一種數列,常用A、P表示。這個常數叫做等差數列的公差,公差常用字母d表等差數列難嗎?等差數列課程在高中二年級才開始學,從小學就進行等差數列的學習,對於大部分同學的接納還是有一定考驗的,但是在小學奧數中涉及的等差數列學習只是簡單的章節,只要能掌握等差數列的通項公式及前n項求和公式即可。
  • 等差數列&等比數列知識匯總與典例解析
    第m項備註:等差數列的通項,整理後為類似一次函數「an=kn+b」形式,其中等差數列的公差d為k。另外凡是一個數列的通項可以寫成類似一次函數 「an=kn+b」的形式,那麼這個數列一定是等差數列。n項和公式,整理後為類似二次函數「Sn=An2+Bn (常數項為0)」形式,其中等差數列的公差d為2A。
  • 教學研討|2.2 等差數列
    教學內容分析本節課是《普通高中課程標準實驗教科書·數學5》(人教A版)第二章數列第二節等差數列第一課時。藉助生活中豐富的典型實例,讓學生通過分析、推理、歸納等活動過程,從中了解和體驗等差數列的定義和通項公式及其產生過程。
  • 29、等差數列及前n項和
    解題心得1.等差數列運算問題的一般求法是設出首項a1和公差d,然後由通項公式或前n項和公式轉化為方程(組)求解.2.等差數列的通項公式及前n項和公式共涉及五個量a1,an,d,n,Sn,已知其中三個就能求出另外兩個,體現了用方程組解決問題的思想.
  • 高中數學等差數列講義1
    1、等差數列的概念、公差 2、等差中項的概念及補充 3、等差數列的通項公式及補充公式、例題分析 4、等差數列的前n項和公式 5、等差數列的性質及系列補充公式。如:公差大於0,數列是遞增數列;公差小於0, 數列是遞減數列;公差等於0,數列是常數列。
  • 等差數列知識點的匯總及公式的證明過程
    等差數列也是考試當中必不可少的內容,很多的公式和性質都是源自於等差數列的概念。這個概念需要注意的點就是:從第二項起和同一個常數。即:一般地,如果一個數列從第二項起,每一項與它前一項的差等於同一個常數,那麼這個數列就叫做等差數列。