素晶胞體積引發的思考——決定化學競賽成績的,竟是數學水平!

2021-02-19 愛化競

一日，鍾老師又在埋頭找晶體素材時，偉軒老師悄悄的靠過來問了一個問題：素晶胞的體積怎麼算？

這讓鍾老師聯想到了在國決之前出的一道模擬題：

更詳細的題目及解析可參見：原創題目丨一道固態氮問題，有效提升晶體結構部分知識運用能力

由於當時鐘老師覺得有些數學問題比較「顯然」，於是就沒有給出特別詳細的解析，現在經過偉軒老師的提問和一些看過解析的同學們的吐槽，越發覺得幾何問題不是一個「顯然」的問題，所以今天我們就一起圍繞這道題目展開討論。

顯然，所有平行六面體的體積都應該寫成底面平行四邊形的面積乘以高，由於這裡是個單斜晶胞，因此底面（ab面）為長方形，面積為ab，因此只需要求出高，就可以宣告結束了。

而在這道題中，涉及到了菱面體晶胞，菱面體晶胞的三個角度雖然相等，但不為直角，因此需要用更加複雜的做法才能求出晶胞體積。畢竟，這題給了晶胞密度，如果求不出體積，意味著推不出對應的原子。

由於菱面體晶胞和三斜晶胞的體積計算過程差不了多少，所以我們這裡直接上三斜晶胞。

那麼接下來讓我們進入一個更加複雜的問題，本題中第三問和第四問圍繞的都是晶胞中的分子結構。

2號N原子的坐標分數中的數值與1號N原子是一致的，這說明2號N原子在稜上的分數位置與1號N原子在體對角線上的分數位置一致，因此，證明體對角線長度等於稜長即可。所以，問題轉化為了在一個菱面體晶胞（或者三斜晶胞）中如何去求體對角線的長度，這個問題不是很顯然，畢竟鍾老師自己開始也不會，在反覆諮詢數學組的諸位老師後，他們紛紛表示難搞，於是鍾老師用最原始的建系法做了一個下午，化簡了六頁草稿紙後終於得到了結果。

當天晚上吃飯的時候，鍾老師受到數學組顏亦威老師的提示，突然想到了一個簡潔的方法把這個問題秒殺了，為了紀念顏老師作出的貢獻，鍾老師決定將三斜晶胞體對角線長度的表達式命名為亦威公式。

下面我們簡單介紹一下亦威公式的推導。

首先我們普及一個簡單的定理：

最後，鍾老師想和大家分享一下由這道題目引出的問題：隨著化學競賽知識學習的不斷加深，數理在其中的佔比也會越來越高，而化學和數學同樣是奠定整個科學理論基石的「基礎學科」之一，二者本身就不可割裂，所以鍾老師希望大家能夠重視數學的學習，打好數學基礎，這樣才能在探索化學競賽的道路上越走越遠。

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作者：鍾嘯  畢業於浙江大學化學系  曾獲CChO省級一等獎

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