【數學閱讀專欄文章1】
「數學是一種語言」
對數學教學的啟示
數學是一種語言，學數學的目的在於幫助學生，能夠以這種語言與自然、社會、人有更精確的對話。以數學的思維方式去思考，以數學的語言去表達，是中小學學生能力中的重要指標。
數學語言的組成成分包括文字、含有意義的符號、數學符號、圖示、圖表等，它們互為交織，共同形成意義。
從「數學是一種語言」的角度來思考數學學習，不論什麼學習方式，學生都在和數學語言打交道，在這個過程中，學生對每一種數學語言成分的理解，決定了他們對數學信息的捕捉、理解、聯結的程度，也決定了他們最終對數學知識的理解程度。理解是一個複雜的認知過程，學生獲得對數學語言，包括其組成部分的理解，最主要的途徑是課堂教學。
關鍵是，作為教師的我們，有沒有意識到數學是一種語言？並且在教學中適時的對這種語言的組成成分進行教學呢？
筆者以含有意義的符號——箭頭為例對教師的教學和學生的學習進行觀察和訪談發現，在課本中大量出現的箭頭，一方面教師普遍認為它的意義不需要提及，傾向於認為學生自然會「箭頭」含有的意義；另一方面是學生在閱讀、表徵、交流時對「箭頭」含有的意義或漠不關心、或模糊不清、或不了了之。此時，教師認為的「學生自然會」和學生的「懵懵懂懂」、「不管」、「不會」形成了鮮明的對比。
不過就是一個簡單的箭頭，學生為什麼要會呢？我們先來看看這些箭頭，它們長得一樣，卻有不同的含義。
可以看到這些含義的背後其實是對數學知識精準的理解，也是思考過程的有序表達。如果教師默認學生自然就會，不對其進行教學，則學生不僅僅是理解上不夠明晰，也會降低學生對數學信息捕捉的意識和能力。當學生獨立閱讀數學文本，如自行預習時，其副作用就會顯現出來。反之，當學生能夠捕捉到數學語言的各種成分時，就會獲得一種強大的力量，將學生帶到更高的數學理解水平上，很多時候還能給教師的教學帶來啟發。
在《角的認識》一課，學生A在預習中提出兩個問題：「為什麼角1這裡要有個小弧線呢？它為什麼是小弧線的樣子呢？」
這是多麼好的問題！
通常，在教學這部分知識時，教師會一邊說：「兩條邊和一個頂點組成一個角，我們把它記作∠1，讀作角1」，一邊動筆畫上角的符號並標上1。此時，角的符號，即小弧線的認知處於一種「我告訴你、你記住它」的教學狀態。
誰會去思考小弧線蘊含的意義呢？
學生A說：「寫上數字1，就可以知道它是角1了。根本不用畫小弧線。」
學生B說：「有個小弧線，就很顯眼，一眼就能看出來。」
學生A說：「那畫個大圈圈，或者畫個五角星，更加顯眼呢！」
對啊，為什麼要有一個小弧線？它又為什麼長成這樣呢？
接下來的教學很精彩：教師先用動態的方式，讓一條邊旋轉起來，讓學生發現，當一條邊旋轉起來，就出現了角，這條邊轉了一圈，又回到起點的時候，它掃過的痕跡，居然是一個圓——這就是小弧線的秘密；然後教師又利用課件形象地介紹了角有大小，有大小就可以測量，就像用直尺測量一樣，需要有終點和起點，小弧線的兩端就像兩隻腳，分別踩在兩條邊上，就是在告訴我們測量的終點和起點。量角器也在此刻亮了亮相。
這樣的教學既豐富了學生對角的認識，又延展到了未來，為將來的學習埋下了種子，甚至有些學生因為在課堂上對量角器產生了好奇，主動找父母學會了角的測量。
教師為什麼會有這樣的教學設計呢？因為看到了學生A預習時提出的好問題。學生A為什麼會提出這樣的好問題呢？因為她對文本中的各種各樣的信息，即構成數學語言的各種成分有敏感度，會主動捕捉它們，並且有意識的去思考「是什麼？」「為什麼？」和「我認為……」這幾個問題。
運用「是什麼？」「為什麼？」和「我認為……」去閱讀的意識不是生而就有的，抓住數學語言的各種成分並提出好問題的能力，也不是從天而降的。
在提高學生數學閱讀能力促進學生數學學習發展的研究中，筆者以數學學習心理學及閱讀的相關理論為支撐，設計並實踐了系列教學方法，這些方法對學生數學閱讀能力的提高有積極作用。上述「是什麼？」「為什麼？」和「我認為……」是閱讀最初期階段時的閱讀鷹架，屬於最基本的。從將數學作為一種語言來掌握，並且掌握程度與學習深度正相關的角度來看，僅運用這一個鷹架，停留在初級階段，還是遠遠不夠的。
目前，筆者的研究將數學閱讀技能的指導分為四個階段，如下表。
上表僅是對四階段的概要。需要根據實際的教學情況做教學設計，並逐漸落實在教學中。如第一階段初期閱讀時，需要教師有意識的將教材中的各種信息做處理，慢慢地幫助學生建立起這樣的數學學習信念：數學書上的每一個信息，都值得推敲。
這裡的各種信息，不再指「解決問題需要的信息」，而是廣義的信息，即教材中呈現的各種文字、圖片等，是以「數學是一種語言」的角度來定義的信息。
此時，很多看起來不起眼的細節，將會獲得生命，使數學學習走向深入。
如《平行的認識》，當教師關注到下面斜著的平行線並沒有放在格子上，並且兩條線「不一樣長」時，問：「放在格子圖上，我們能夠數出距離，現在呢？為什麼它們也平行？你們是怎麼判斷的？」「這一組線看起來都不一樣長，為什麼也是平行線呢？」……此時，就不會簡單的將上面根據窗戶、國旗得出的平行線概念通過「找出兩組互相平行的線段，並用不同的顏色描出來」來做鞏固練習，而是將其作為新授的一部分進行討論，就有機會將「平行線兩點之間的距離相等」、「平行線表示的是兩條直線的位置關係」講得更加透徹，也有機會在新授課時就化解學生的易錯點——一組看起來不一樣長，但實際上平行的直線，相當一部分學生會認為它們不平行。當教師在教學中經常問「是什麼」「為什麼」「你們認為是什麼」的時候，也就在交給學生初期閱讀的鷹架。
當學生在課上掌握了基本的閱讀方法以後，就可以進行獨立的閱讀，比如預習。每一個階段的預習，根據閱讀對象（課本、繪本等）的不同，會同步下發和四階中典型句式類似但更加具有操作性的閱讀鷹架。下圖為二階閱讀課本時，學生使用的鷹架。
這樣的鷹架，即能幫助學生獨立閱讀，也能幫助教師看到學生的思考，從而更好的設計教學。
可以看到，學生畫出的重點詞是「工具」和「結果」，「工具」和「結果」恰恰是本節課的目標；學生運用箭頭，將原來比較散的信息，「長度和尺子」「注意、標記、挨著放」等聯繫起來進行了閱讀，這種聯繫起來閱讀的習慣，本質是信息聯結和整合，慢慢會成長為有序的思考；而學生的困惑是「書是不一樣長的啊？」，這個問題的討論將帶來對測量標準化的思考。
需要注意的是，閱讀鷹架在學生達到一定水平後，會被內化。此時，學生即便沒有勾勾畫畫，即便沒有將問題寫出來，他也能進行高水平的閱讀，從而帶來高水平的學習。屆時，教師就需要通過別的教學途徑去看到學生內在的思考，此為別話，在此不表。
除鷹架外，指向數學學習的數學閱讀方法還有很多，如基於關係性理解的信息分組等等，在後續的文章中會逐一介紹。
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