數學語言專家:語言表達可能影響數學成績

數學之美

學生解決數學問題過程中閱讀和書寫都很重要

數學表達包括口頭表達和書面表達，既包括表達和聆聽，也包括閱讀、解決問題和呈現答案。學生在解決問題時，首先需要通過閱讀來理解有待於解決的問題，然後才是問題解決。在解決問題的過程中可能需要通過數字、圖形等多種方式，才能最後作出回答。這裡的作答不僅僅指給出答案，還包括對答案的解釋。在學生解決問題過程中處處都需要語言表達，所以閱讀、書寫都很重要。

關於問題解決最有價值的研究就是學習小組共同解決問題的過程，因為在問題解決過程中有交流、傾聽、爭執、協調以及最終確定答案。數學表達不同於普通的語言表達，它使用的是一系列特定的數學詞彙，如直徑、斜邊、垂直等，同時它的語法也比較複雜。在美國，數學教材都是用英文來呈現的，教材裡的語法非常複雜，數學詞彙很特殊，對問題的解釋方式也是唯一的、不可替代的，這都是數學學科的特點。

數學測驗主要目的並不在於考察學生是否理解問題的陳述，而在於檢測學生是否掌握數學知識、是否可以運用掌握的數學知識成功地解決數學問題。但現實卻是，學生需要去理解較為複雜的問題陳述並表述其解答過程。在美國測驗中，僅寫出答案是不夠的，比如在「計算2+2=?，並給出你使用的方法」這樣的題目中，學生不僅需要給出答案，而且還要使用數學表達闡述其完整的思考路徑。可見，語言表達能力不僅會在一定程度上限制學生對數學知識的掌握，而且還可能影響學生的數學學業成績。這是可以通過強調數學表達來改變的。

四年級及以上的數學學習非常依賴語言

當下美國有近450萬名學生是非英語母語的學生，其中約80%的學生來自說西班牙語的家庭。他們已經被美國政府界定為沒有熟練掌握英語或者是獲得課堂學習機會有障礙的學生。這些學生被稱為「英語學習者」(English learner students，簡稱「ELs」)。當然，在日常生活中他們也會說少量的英語，但還不足以應對數學教科書上複雜的表述。實際上，四年級及以上的數學學習非常依賴英語，而且涉及到較多數學專業的學術性英語詞彙。

學生數學學業成績的相關數據顯示：英語學習者作為一個群體，在標準化數學測試中，學業成績比那些以英語為母語的學生低。學習代數知識的阿里爾(Ariel)，他是七年級的雙語學生，我們對他進行了為期18個月的觀察，記錄他在解決問題的過程所需的數學知識和語言知識(口頭和書面)。在我們開始觀察時，我們提出了三個研究問題：

1.阿里爾在解決問題的過程中如何表達他的數學理解？

2.阿里爾在解決問題過程中是怎樣進行數學表達的？

3.阿里爾怎樣使用表徵系統來解決語言(口頭和書面)問題？

我們發現，在阿里爾努力解決線性函數問題時，他通過嘗試解決具體的代數問題呈現出他的數學理解。在探索代數思想時，他試圖找出某種模式去理解。在18個月的時間裡，他與其他人討論、繪製表格和圖表及藉助工具來描述他的理解。我們注意到，在阿里爾經歷這些學習的過程中，他沒有正確地使用數學表達。他經常會使用不規範的語言，如「run on」，而且他的口頭表達也不清楚，他甚至發明了一些詞語，如「thingy」。比如他陳述道：「當你移動這個thingy從這裡到那裡，它們就在一起啦」等。這些不規範的數學語言並沒有影響問題的解決。但在正式測試中，類似於「thingy」「run on」這類詞彙的使用是不被認可的，然而，這些「錯誤」的數學表達在美國數學教學中卻普遍存在。

學生要掌握數學表達的專業性語言體系

數學學習就是多元表徵符號系統的建構，因此在數學教與學的過程中，作為數學表達的聽、說、讀、寫能力都非常重要。在解決問題的過程中，每個方面都可能直接影響學生的數學學業成績，所以教師在課堂教學中需要關注學生在數學表達方面存在的問題。學生要掌握關於數學表達的專業性語言體系，使用這個體系理解數學，解決複雜情境的應用題(words problem)，並能恰當地闡釋他們的數學理解。

每個領域都有一種特殊的交流和寫作方式，當然數學學科也有其特有的詞彙、語法和資源結構，而這樣的語言表達和其他學科如歷史學科所使用的語言是不同的。 在一些大型國際測試中，專家們已經開始研究學生在問題解決中使用的「詞彙」，尤其是許多測試要求學生必須寫出解決方案及其對應的解釋。專家們會在事前做出評分表(scoring sheet)，第一步是讓學生「陳述」(statement)，說出該問題解決的情況，要求學生提供結論及解釋，像「thingy」「go by twos」這樣的詞彙是不允許出現的；其次是數學專業詞彙的規範性，如「弦」「直徑」「垂直」「線性函數」「平行四邊形」等；第三是句子的完整性、正確性；第四是單詞拼寫的正確性；最後我們也關註標點符號使用的正確性。在美國的一些大型測試中，解釋過程往往比正確的答案更重要, 學生可以得到「不正確的答案」，但只要呈現的解決過程中包括所有必要的問題解決要素，評價者是可以給予好成績的。

教師應該樹立數學表達的榜樣(model)

教師應該使用學生能夠理解的方式表達和書寫，同時向學生展示準確的數學表達。教師應該創造情境(to create situations)，把基本的數學知識和技能嵌入到教學任務(instructional tasks)中，並指導學生使用正確的數學表達。

教師實施數學表達的具體步驟是：首先，教師必須樹立數學表達的榜樣(model)，在課堂教學中必須使用精準的數學表達，不能使用類似於「嗯，你把那個數字移到那裡……」等這樣不規範表達方式。第二，數學教師需要對專業術語進行反覆表達(revoice)、不斷重述(recast)，比如涉及到線性函數時，學生也許不能深刻地理解線性函數的含義，那麼教師就要重述線性函數的具體內涵。當學生不能恰當地進行數學表達時，教師應該尋找適當時機，用數學術語重述他們的解決方案。數學表達對美國教師提出的要求，實際上就是從榜樣和重述兩個方面落實的。第三，我們不能奢望學生特別是雙語學生，在課程開始時就能夠使用完美的數學表達。讓剛開始的學生走進課堂並興奮地參與到問題解決中來是最重要的，所以在課堂教學過程中任務設計(task design)至關重要。

美國教師主要評價學生有沒有掌握數學知識。從評價角度來說，最重要的是學生對數學知識的理解，學生是否能夠進行「建構」，而不是「跟隨程序」。數學教學的目標是發現、理解和創造，不能僅停留在記憶、應用層面。有些學生可能會給出一些非常奇怪的問題解決過程，如涉及手指或腳趾計數等，但重要的還是學生在努力地建構自己的認知，評價者更為注重建構的過程。「知識是通過社會互動構建起來的」，大多數學生需要對他們真正有意義的任務設計，通過小組討論，幫助他們建構起認知的過程。這個過程就需要教師在解決問題過程中樹立數學表達的榜樣，需要反覆地表達與重述，並且給予學生適當的鼓勵與支持。

數學表達能力對於數學教師來說是非常重要

首先教師需要了解數學表達的意義。雖然數學是關於數學知識本身的理解，但它必須通過語言作為媒介，所以數學表達既是數學學習的起點也是終點。教師無法直接告訴學生如何掌握數學表達，只能通過不斷地分析句子，解讀難懂的詞彙，或者重述繁瑣的專業術語等方式來促進學生更好地進行數學表達。例如，當學生在具體的情境中遇到如斜邊、垂直這些專業術語時，教師首先需要讓學生解釋並與同學討論，讓他們自己去發現、接觸、建構這些詞彙表達的意義；然後通過設計合理的任務、樹立數學表達「榜樣」，多次重複，給予學生鼓勵，促進學生形成良好的數學表達。當然，我們也不能直接要求教師這樣做，而應該讓教師去實踐。當教師看到基於數學表達的數學教學具有較好的效果時，他們就會自願地學習並踐行這一理念。

數學表達能力對於數學教師來說是非常重要。如果教師不說話，只是演示，那麼學生只是知道你把這個東西移過來移過去，他們也只能建立起形象表徵。數學教師在教學時，必須努力成為數學表達的榜樣。每個數學教師必須不斷地對自我的元認知進行反思，這種反思不僅僅是數學知識本身，而且包括數學表達。在美國，我相信每位教師都應該是英語教師，每位數學教師都是數學表達的教師。

專家簡介：

路易絲·威爾金森，國際知名數學語言研究專家，主要研究兒童的語言與數學語言學習，美國雪城大學(Syracuse University)教育學院教授，1974年在哈佛大學獲教育學博士學位。她認為數學學科有其獨特的專業語言系統，學生在數學情境下給出正確的、合理的數學表達（mathematics register）是一項非常重要的能力。由於數學學習是基於多元表徵的符號系統的建構，所以教師在教學中應給予學生充分的機會進行數學表達，並從學生的數學表達中探知他們對數學的理解。

原文標題：數學學習中「數學表達」的前沿研究——路易絲·威爾金森(Louise Wilkinson)與趙凌雲、李沐慧的對話

原文作者：趙凌雲 ， 李沐慧 ， [美]路易絲·威爾金森

原文刊載於華東師範大學學報