T7.解三角形最值（範圍）問題的千層套路（二）

2020-08-17 何數

接，本篇文章將會講解解三角形最值（範圍）問題的千層套路（二）：正弦定理+正弦函數

2019年黑龍江哈爾濱一模數學第17題


題目是在53上找的，有點代表性

第（1）問：第一小問以三角函數的形式出現，函數表達式裡還出現了二次方。所以接下來我們就要利用二倍角公式對其降次。

題目雖然簡單，但需要注意以下幾點:

1.在碰到二次方時，要用餘弦二倍角公式對其降次處理

2.若函數表達式中存在異名式，可以通過輔助角公式化為同名

3.若函數前面有負號，在求單調區間時，要往相反的區間裡代。如f(x)=-sinx，在求增區間 時，要將自變量代入f(x)=sinx的減區間

4.k∈Z一定要寫！

重點是第（2）小問：正弦定理+正弦函數

根據題目意思慢慢來

我們已經得知A=π/3,接下來，就要使用正弦定理

本題給出了a與對應的角A，可以使用正弦定理的性質求出b+c對應的表達式。上式中又包含角B，又包含角C。這時，我們可以用三角形內角和180°將其化為同角，即：

通過內角和定理確定了B的取值範圍

接下來就簡單了，b+c的取值範圍就是(1,2]（可以通過正弦函數圖像得到）

總結：

面積的範圍問題通常用餘弦定理+基本不等式，邊長範圍問題通常用正弦定理+正弦函數

步驟如下：1.用正弦定理求出2R（外接球直徑）

2.利用2R表示其他兩邊邊長

3.利用內角和定理將異角化同角，順便得出角的取值範圍

4.結合正弦函數圖像，得出邊長範圍

一個彩蛋：

這個題目給出了a與對應的角A，符合餘弦定理，那麼我們可不可以利用餘弦定理+基本不等 式來解決第二小問呢？

b+c的右端點已經確定，那麼左端點怎麼確定呢？因為三角形兩邊之和大於第三邊(初中、小學所學的知識能和高中聯繫起來），所以b+c>a=1

綜上所述b+c∈(1,2]

後天填坑：解三角形最值（範圍）問題的千層套路（三）

相關焦點

  • T11.解三角形最值（範圍）問題的千層套路（三）
    接，本篇文章將講解套路（三）——正弦定理混搭正切函數，這也是這個系列的最後一篇文章。 吐槽一句，解三角形第一小問的結果為啥都是π/3啊。。。重點是第（2）小問。解取決取值範圍問題的工具是函數，要用函數，就要明確自變量的取值範圍。本問已經明確，三角形ABC是銳角三角形，暗示著取值範圍。
  • T4.解三角形最值問題的千層套路（一）
    （1）解：如本題將sinA化為sin(B+C)重點是第二小問 （2）解：三角形面積的最大值為根號二加一用到這種套路的第二小問通常具有以下特徵： 1.給出第一小問所求角的對邊長度，便於使用餘弦定理。：（大題所給的條件神似解三角形的射影定理） a=bcosC+ccosB b=ccosA+acosC c=acosB+bcosA 2.三角形中，角的互化：
  • 2020詳解初中幾何線段和（差）的最值問題
    2020詳解初中幾何線段和（差）的最值問題：一、兩條線段和的最小值問題基本圖形解析：（對稱軸為：動點所在的直線上）一）、已知兩個定點：二）、一個動點，一個定點：三）、已知A、B是兩個定點，P、Q是直線m上的兩個動點，P在Q的左側,且PQ間長度恆定,在直線m上要求P、Q兩點，使得PA
  • 九年級數學,二次函數中三角形周長的最值問題,解題思路很重要
    很多同學學習完「鉛錘法」後，按照解題套路能很快解決二次函數中三角形面積的最值。如果面積最值問題還沒有掌握的話，可以參考：2020年中考數學專題複習，二次函數與三角形面積最值問題，鉛錘法但是，冷不丁的遇到二次函數中三角形周長的最值問題
  • 解三角形擴展:四邊形中的最值問題
    四邊形中的最值問題其實是三角形中最值問題的延伸，在三角形最值問題中最常用的方法是三角函數的有界性，即用一個有範圍的角度將所要求出的式子表示出來，利用三角函數是有界函數求出最值即可，但是在四邊形中有時候只設一個角度表示出所要求的式子會很複雜，所以此時最常見的做法是設兩個角度，然後找到兩個角度之間的正餘弦轉化關係，最後依舊轉化為只含有一個角度的有界函數即可，但是除了常規的做法之外
  • 三角形面積與周長最值問題
    三角形面積與周長最值問題思考2：若問題改為：求ΔABC的周長的最大值呢？或改成：求周長的取值範圍呢？         往期文章回顧    2011年立體幾何創新題（體積與導數）賞析     「點差法」失效了？
  • 初中數學求範圍（求最大值，最小值）問題題型解析
    求最值問題，也就是最大值和最小值問題，這類問題出現的試題，內容豐富，知識點多，涉及面廣，解法靈活多樣，而且具有一定的難度。最值問題一般有三類。一是以幾何背景的最值問題，一般可以看成是運動變化的圖形在特殊位置時，與圖形有關的幾何量達到最大或最小值；二是有關函數的最值問題
  • 高考數學（衡水）
    求最值時通過自變量的範圍推到裡面整體u=ωx+φ 的範圍，然後可以直接畫sinu的圖像，避免畫平移的圖像。這部分題還有一種就是解三角形的問題，運用正弦定理、餘弦定理、面積公式，通常有兩個方向，即角化成邊和邊化成角，得根據具體問題具體分析哪個方便一些，遇到複雜的題就把未知量列成未知數，根據定理列方程組，然後解方程組即可。
  • 2020年中考數學專題複習,二次函數與三角形面積最值問題,鉛錘法
    本節內容主要介紹二次函數中三角形面積最值問題。求三角形常用的方法有：（1）直接法，利用三角形的面積公式求解，此時的三角形是規則三角形，也就是說可以求出三角形的底和高，一般以坐標軸上線段或以與軸平行的線段為底；（2）利用相似三角形，兩個三角形相似，面積比等於相似比的平方；（3）利用同底或等高的三角形面積關係；（4）割補法求三角形的面積，三邊均不在坐標軸上的三角形及不規則多邊形需把圖形分解。
  • 九年級數學二次函數考點例析（有2020中考題）
    二次函數常考什麼，這個所有同學必須明確的事情，下面就聽何老師給大家道來！二次函數常考方向：（1）二次函數的圖象和性質，主要從開口方向、頂點坐標、對稱軸、增減性、最值等幾個方面考查；（2）拋物線平移規律；（3）二次函數解析式的確定；（4）二次函數與幾何圖形的綜合問題；（5）二次函數與一元二次方程的關係；（6）二次函數在實際問題的應用；（7）二次函數的綜合題.
  • 解三角形問題中的常見錯解分析
    解三角形問題是個難點，怎樣才能突破這個難點呢？只有正確理解三角形中的邊角關係，即三角形中的邊角等量關係、邊角的不等關係及內角和關係，才能克服這個難點。下面快和包sir一起對解三角形問題中的常見錯誤進行分析。
  • 九年級（初三）數學函數學什麼？考什麼？需注意什麼問題？
    第18課山東中考數學模擬，規律探討，分組問題，關鍵是預判n的取值範圍再驗證.第19課函數考點詳解：變量、常量、函數、自變量的取值範圍、函數表示方法.第20課函數的概念的深層次理解及x，y的範圍求法，分清上下左右是關鍵，注意水平線和垂線.第21課函數自變量取值範圍（定義域）問題：分母不等於零偶次根號被開方數大於等於零零次方底數不等於零.
  • 幾何最值函數破解（2020年蘇州第28題）
    幾何最值函數破解（2020年蘇州第28題）解決幾何最值有一種常見的方法，就是將幾何最值用函數表示，通常情況下，設置變量參數，構造二次函數模型，利用函數變化中的最值來解決問題，這其中的難點在於尋找變量之間的關係，有兩層含義：一是幾何數量關係，二是建立坐標系尋找數量關係。
  • 總結二次函數求三角形周長最值的解題「套路」,讓壓軸題不再難
    今日應用前文的解題方法，實例總結二次函數中求三角形周長最值的解題「套路」,希望大家能從中領悟解題思路.只有掌握題目的分析方法，才是根本.已知二次函數的解析式為y=-x+4x,該二次函數交x軸於O、B兩點，A為拋物線上一點，且橫縱坐標相等（原點除外）,P為二次函數上一動點，過P作x軸垂線，垂足為D(a,0)(a>0),並與直線OA交於點C.
  • 突破140分:圓錐曲線中最值與取值範圍問題的命題規律和解題技巧
    圓錐曲線中的最值與取值範圍問題的命題規律和解題技巧命題規律圓錐曲線中的最值與取值範圍問題是高考中的常考題型,以解答題為主,難度一般較大,注重方程思想、數形結合思想、分類討論思想的應用.主要的命題角度有:(1)涉及距離、面積的最值以及與之有關的一些問題;(2)求直線或圓錐曲線中幾何元素的最值以及這些元素存在最值時與之有關的一些問題.
  • 最值易求理由難講（2020年湖南郴州第25題）
    最值易求理由難講（2020年湖南郴州第25題）動態幾何圖形中的最值問題，是中考數學的常見考點，涉及到的初中階段定理很多，例如兩點之間線段最短，垂線段最短，圓中最長的弦是直徑，最大的圓周角是直角等等，無論是線段最值、角度最值或面積最值，核心是找準動點源頭，把它的運動狀態摸透了，再探索從動點的運動，這樣順藤摸瓜，才能建立起整個動態幾何的模型。
  • 九年級數學,小狗活動範圍的最值問題,容易出錯
    在圓中，有一類問題，求小狗的活動範圍，這類題目一不留神就很容易出錯。並且，可與二次函數相結合考查最值問題，難度上也會相應變大。在解題時注意，小狗活動的範圍應該是以所寄點為圓心，繩長為半徑的一個圓。例題1：如圖，OA、OB是某牆角處的兩條地腳線，夾角∠AOB=150°，一根4米長的繩子一端拴在牆角O處（OA＞4米，OB＞4米），另一端拴一隻小狗，小狗在地面上活動，求：（1）小狗可活動的最大區域圖形的周長；（2）小狗可活動的最大區域圖形的面積（結果保留π）．
  • 中考數學專題：最值問題中的圓模型（難點）
    中考數學最值問題是必考點，一般出現在選擇題和填空題的最後一題，有時候也可能出現在解答題的倒數第一題或第二題的一問中。在江蘇無錫的作圖題中，也運用了最值的原理。需要考高分的同學，建議掌握好！以下是利用輔助圓求解動點最值問題的幾種題型：一是同一端點出發的等長線段二是動點對定線段所張的角為定值利用圓來解決最值問題，一定要有定點和定長，因為圓的定義是到定點的距離等於定長的點的集合。
  • 高中數學:解三角形問題中的常見錯解分析
    解三角形問題是個難點，怎樣才能突破這個難點呢？只有正確理解三角形中的邊角關係，即三角形中的邊角等量關係、邊角的不等關係及內角和關係，才能克服這個難點。下面就解三角形問題中的常見錯誤進行分析。所以或（不合題意），顯然B為銳角。（以下過程請同學們自己做一做）　　為了得到第三種解法，下面給出一個命題。　　命題：在△ABC中，給定角A、B的正弦值或餘弦值，則角C的正弦或餘弦有解（即存在）的充要條件是。　　證明：角C有解　　故判斷角C是否有解，只需考慮的符號。
  • 二次函數檢測（一）知識點評析附參考答案（原創）
    二次函數應該學完了嗎？來來來，筆者整理了一份小練習，時間最多45分鐘，1－11題每題5分，12題10分，第13、14題每題12分，第15題11分，快來檢測一下自己對二次函數掌握的如何吧！；6.二次函數的實際應用，理解公式中字母的含義並對二次函數解析式進行配方.