三角函數公式推導過程

2021-01-07 中考網

　　萬能公式推導

　　sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα/(cos^2(α)+sin^2(α))......*，

　　（因為cos^2(α)+sin^2(α)=1）

　　再把*分式上下同除cos^2(α)，可得sin2α=2tanα/(1+tan^2(α))

　　然後用α/2代替α即可。

　　同理可推導餘弦的萬能公式。正切的萬能公式可通過正弦比餘弦得到。

　　三倍角公式推導

　　tan3α=sin3α/cos3α

　　=(sin2αcosα+cos2αsinα)/(cos2αcosα-sin2αsinα)

　　=(2sinαcos^2(α)+cos^2(α)sinα－sin^3(α))/(cos^3(α)－cosαsin^2(α)－2sin^2(α)cosα)

　　上下同除以cos^3(α)，得：

　　tan3α=(3tanα－tan^3(α))/(1-3tan^2(α))

　　sin3α=sin(2α+α)=sin2αcosα+cos2αsinα

　　=2sinαcos^2(α)+(1－2sin^2(α))sinα

　　=2sinα－2sin^3(α)+sinα－2sin^3(α)

 

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