角平分線策略
王 橋
角平分線，是中考題目中最常見的一個知識點。遇到角平分線，需要掌握以下幾種策略：
【策略一】：從角平分線的定義出發，找出角的等量及倍分關係
定義1：角的平分線：從角的頂點發出的一條射線，把角分成相等的兩個部分的射線叫做角的平分線。
如圖，若∠AOC=∠BOC，則OC叫做∠AOB的角平分線。「OC是∠AOB的平分線」還可以表示成以下5種形式：
（1）∠AOC=∠BOC；
（2）∠AOC=1/2∠AOB；
（3）∠BOC=1/2∠AOB；
（4）∠AOB=2∠AOC；
（5）∠AOB=2∠BOC；
定義2：三角形的角平分線：作三角形一個內角的平分線，與對邊相交，這個內角的頂點到對邊交點之間的線段叫三角形這個內角的平分線
如圖：△ABC中，若∠1=∠2，則∠BAC的平分線為線段AD。
定義3：三角形的內心、旁心：三角形的三條內角平分線角於一點，這個點叫做三角形的內心；三角形的兩條外角平分線的交點叫三角形的旁心。三角形的內心和三角形的旁心到三角形三條邊的距離都相等。
如圖3，點N為△ABC的內心，點W1、W2、W3為△ABC的旁心
根據角平分線的定義，最容易得到以下幾個常見模型（相關內容詳見《衝刺十招》第5招——「胸有成竹會建模」）：
1、互為鄰補角的角平分線互相垂直
2、平行線間的同旁內角的平分線互相垂直
3、三角形兩條內角平分線所夾鈍角與三角形第三個角的一半的差為90°；
4、三角形內角平分線與一條外角平分線的夾角等於第三個內角的一半
5、三角形兩條外角平分線的夾角與三角形第三個角的一半互餘
【策略二】：根據角平分線上的點到角兩邊的距離相等——遇到角的平分線，常想角平分線上的點到角的兩邊的距離相等
1、角平分線的性質：角平分線上的點到角兩邊的距離相等
2、角平分線的判定：到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上
例1、如圖，△ABC中，AB=AC。△ADE中，AD=AE，且∠BAC=∠DAE。連接BD、CE，BD和CE所在的直線交於點P，則AP平分∠BPE。
簡析：易證明△ABD≌△ACE，則BD=CE，且S△ABD=S△ACE。作AM⊥BD於M，AN⊥CE於N，則，∴AM=AN，則點A在∠BPE的角平分線上，即AP平分∠BPE。
例2、如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4．AD平分∠BAC交BC於D，則BD的長為 ——選自《春季攻勢》第15講「輔助線秘籍（1）——做垂線」
簡析：遇角平分線，做雙垂！過點D作DE⊥AB於點E，DF⊥BC於F，則DE=DF。根據面積法，則DE=DF=12/7，
根據相似三角形的對應邊成比例或勾股定理，則BD=；
【策略三】：根據角的對稱性，利用角平分線翻折構造全等三角形
根據角的對稱性，角平分線所在的直線是角的對稱軸。當角貧農股份的異側有一個三角形時，常常沿著角平分線翻折這個三角形，構造全等三角形來解決問題。
例3、如圖，已知△ABC中，∠A=600，BD、CE分別為∠ABC、∠ACB的角平分線，求證：（1）OE=OD；（2）BE+CD=BC。——選自《春季攻勢》第16講「輔助線線秘籍（2）——作軸對稱圖形」
證明：如圖，在BC上截取BF=BE，連接OF。易證明△BEO≌△BFO，則OE=OF,BE=BF。∵∠A=60°，BD、CE分別是∠ABC和∠ACB的平分線，則∠BOC=120°，則∠BOE=∠BOF=∠FOC=∠DOC=60°。則易證△COF≌△COD，∴CD=CF，OD=OF，BC=BF+CF=BE+CD。
例4、已知△ABC中，∠BAC=44°，∠ABC=38°，AP平分∠BAC，∠ABP=8°。求∠APC的度數。——選自《春季攻勢》第16講「輔助線線秘籍（2）——作軸對稱圖形」
簡析：延長AP交BC於點D，延長AC到E，使得AE=AB，連接PE、BE。易知∠PBC=∠BPD=30°。易證明△BAP≌△EAP，則PB=PE，∠APB=∠APE，∠BPD=∠EPD=30°，則∠BPE=60°，則△PBE為正三角形，∴∠ABE=∠AEB=∠BPC=68°，∴∠DPC=38°，則∠APC=142°。（當然此題也可做△ACP的關於AP的軸對稱三角形）
【策略四】：運用角平分線構造等腰三角形
1、通過角平分線上一點作角的一邊的平行線，構造等腰三角形
2、角平分線+垂線——構造等腰三角形
例5、如圖所示，在△ABC中，BC=6，E、F分別是AB、AC的中點，動點P在射線EF上，BP交CE於點D，∠CBP的平分線交CE於Q，當CQ=1/3CE時， EP+BP=_____.——選自《春季攻勢》第16講「輔助線秘籍（2）——補短法
解析：如圖，延長BQ交射線EF於M，∵E、F分別是AB、AC的中點，∴EF∥BC，∴∠M=∠CBM，∵BQ是∠CBP的平分線，∴∠PBM=∠CBM，∴∠M=∠PBM，∴BP=PM，∴EP+BP=EP+PM=EM，∵CQ=1/3CE，∴EQ=2CQ，由EF∥BC得，△MEQ∽△BCQ，∴EM:BC=EQ:CQ=2，∴EM=2BC=2×6=12，即EP+BP=12．故答案為：12．
例5、如圖，在△ABC中，E是AB的中點，CD平分∠ACB，AD⊥CD於點D。
求證：（1）DE∥BC；（2）2DE=BC-AC——選自《春季攻勢》第16講「輔助線秘籍（2）——補短法
解析：延長AD交BC於F．（1）∵AD⊥CD，∴∠ADC=∠FDC=90°．∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠FCD．在△ACD與△FCD中，∠ADC=∠FDC DC=DC∠ACD=∠FCD，∴△ACD≌△FCD．∴AC=FC AD=DF．又∵E為AB的中點，∴DE∥BF，即DE∥BC．
（2）由（1）知AC=FC，DE=1/2BF，∴DE=1/2（BC﹣FC）=1/2（BC﹣AC）．
【策略五】：角平分線+對角互補——作旋轉或雙垂
對角互補基本模型——「α——180°-α模型」：如圖，∠AOB=α，∠DCE=180°-α。（1）若OC平分∠AOB，則CD=CE；（2）若CD=CE，則OC平分∠AOB——選自《春季攻勢》第12講「對角互補與半角模型」
例6、（2018黑龍江）如圖，四邊形ABCD中，AB=AD，AC=5，∠DAB=∠DCB=90°，則四邊形ABCD的面積為（ ）
A．15 B．12.5 C．14.5 D．17——選自《春季攻勢》第12講「對角互補與半角模型」
解析：如圖，過A作AE⊥AC，交CB的延長線於E，∵∠DAB=∠DCB=90°，∴∠D+∠ABC=180°=∠ABE+∠ABC，∴∠D=∠ABE，又∵∠DAB=∠CAE=90°，∴∠CAD=∠EAB，又∵AD=AB，∴△ACD≌△AEB，∴AC=AE，即△ACE是等腰直角三角形，∴四邊形ABCD的面積與△ACE的面積相等，∵S△ACE=1/2×5×5=12.5，∴四邊形ABCD的面積為12.5，故選：B．（當然此題也可過點A向BC和CD作垂線）
例7、(2017山東濱州)如圖，點P為定角∠AOB的平分線上的一個定點，且∠MPN與∠AOB互補．若∠MPN在繞點P旋轉的過程中，其兩邊分別與OA，OB相交於M、N兩點，則以下結論：（1）PM＝PN恆成立，（2）OM＋ON的值不變，（3）四邊形PMON的面積不變，（4）MN的長不變，其中正確的個數為（ ）
A．4B．3C．2D．1——選自《春季攻勢》第12講「對角互補與半角模型」
解析：過點P分別作PE⊥OA於E，PE⊥OB於點F，易證明PE=PF。
∵∠MPN與∠AOB互補，則∠PMO+∠PNO=180°，則∠PMO=∠PNF。又因為∠PEM=∠PFN=90°，∴△PEM≌△PFN，∴PM=PN，且EM=FN。所以（1）顯然成立；且易證OM+ON=OE+OF=2OE。因為∠AOB為定角，設∠AOB=2α，則∠EOP為定角α。因為點P為定點，不妨設OP為定長m，則OE=OF=OP·cosα=m·cosα為定值，則OM+ON=OE+OF=2OE=2m·cosα為定值，則（2）正確；顯然，四邊形PMON的面積=四邊形PEOF的面積為定值，不變，則（3）正確。而MN的長度顯然是不固定的，故選B。
【策略六】：利用三角形的角平分線分對邊成兩條線段之比等於角兩邊之比構造方程
內角平分線模型：三角形的內角平分線分對邊所成兩條線段與這個角的兩邊對應成比例；——請自己證明這個結論
外角平分線模型：三角形的外角平分線分對邊所成兩條線段與這個角的兩邊對應成比例；——請自己證明這個結論
例8、（2020宜賓）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中點，BE平分∠ABC交AC於點E，連結CD交BE於點O．若AC＝8，BC＝6，則OE的長是 ．——選自《春季攻勢》第15講「輔助線秘籍（1）——作平行線」
解析：在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，由勾股定理得：AB＝10，過A作AF∥BC，交BE延長線於F，∵AF∥BC，∴∠F＝∠CBE，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∴∠F＝∠ABE，∴AB＝AF＝10，∵AF∥BC，∴△AEF∽△CEB，∴AF:BC=AE:CE，∴10:6=AE:(8-AE)，解得：AE＝5，CE＝8﹣5＝3，在Rt△ECB中，由勾股定理得：BE=3√5，過D作DM∥AC，交BC於M，交BE於N，∵D為AB的中點，∴M為BC的中點，N為BE的中點，
__
————哈哈！最後這道題咱偷了個小懶，直接複製粘貼的答案——因為這不是大名鼎鼎的「飛魚模型」嗎？懶得動筆了.
您會一輪嗎？
2019年12月25日——26日，我們曾經組織召開了全國首屆中考數學一輪備考研討會，受到了一致好評。2020年的4月和8月，我們又召開了線上的一輪備考研討會和模型教學研討會，反響也不錯.
在中考數學複習的江湖上，一直流傳著「三輪複習法」的美麗傳說。但是，究竟什麼是「三輪複習法」？究竟怎樣進行一輪複習？究竟怎樣進行二輪複習？.這也是我們今年繼續召開一輪備考研討會的初衷。
去年的一輪備考研討會，我們已經達成了一輪備考既要建立知識系統，又要建立方法系統的共識。
但是，一輪複習中，那些概念、性質講不講？講多深？複習課怎麼上？怎樣才能引起學生的重視，調動學生的學習積極性？一輪複習講和練佔比多少？什麼時候刷題合適？刷什麼樣的題？刷多少題？刷多大難度的題？刷題後的講評怎麼進行？一輪複習怎樣才能幫助學生建立起知識系統？.這些都是去年一輪備考研討會前提出來的困惑的而仍然沒有形成定論的東西。
一輪複習，怎樣才能在梳理知識，查缺補漏，形成知識網絡，構建知識體系的同時，同時注重建立起思想方法系統和能力系統？去年我們的《春季攻勢》僅僅是給優等生培優做出了大膽的嘗試。那麼對於中等生、學困生又該怎樣進行一輪複習呢？
今年的一輪備考研討會，呼之欲出！
歡迎參加2021年元月1日——4日矩形的「中考數學一輪備考研討會」。
去年：周繼光？姚萬裡？張森？周麗霞？.四個知名特級教師聚集在一塊，不僅僅可能是「四特」美酒，更可能是一頓數學饕餮盛宴！
今年：既有駱傳樞、於新華、黃金聲、姚萬裡、周麗霞、姜鴻雁、田獻增、李樹臣、談志國、段廣猛的鼎力支持，更有張宇清、姚志敏、張森、李清強、楊柳、趙志顯、王勇戰的傾情奉獻.
數十個專家教師的集體碰撞，不僅僅是思維的火花，一定是一道道最美麗的彩虹！
這次一輪備考研討會：講系統、講策略、講方法、講專題.不可能面面俱到，但絕不會點到為止——落地、實用、高效.
2021年的元旦，咱們用一種最嶄新的姿態，在快樂的學習中度過，如何？.也許，又將會是四個難忘的不眠之夜！！！
另：1、配合一輪培優的《春季攻勢》正努力修訂中，會務期間會作為研討資料免費發給大家！
2、尚有少量配合秋季培優的《沙場秋點兵》，需要聯繫我；
交流諮詢：17788155816 QQ：478874009