計算機代數系統簡介

2021-02-18 科學出版社數學教育

由於計算機代數年輕的形象,  我們略去它古老的歷史(儘管代數和算法兩個詞都有很長的歷史).

1953年, 美國Temple大學的Kahrimanian 和麻省理工學院的Nolan分別撰文提出在數字計算機上實現微積分中的求導計算.  與此同時,英國的Hazelgrore利用EDSAC-1進行了群論中的Toss-Coxte計算.

在20世紀60年代早期, 用於表處理的計算機語言LISP在美國開發成功,儘管計算機代數系統大部分由C語言寫成,LISP在計算機代數軟體中起了重要作用. 由JamesSlagle寫的第一個符號積分程序, 以及稍後由JoelMoses寫的符號積分程序都是用LISP語言寫的. 這些程序和William Martin的努力是Macsyma項目的前奏.  Macsyma是第一個基於LISP的通用計算機代數軟體. Macsyma的第一版於1971年問世, 它提供了計算極限和解方程的功能.

在20世紀80年代, 麻省理工學院把Macsyma轉讓給Symbolic公司,該公司專門開發專家系統和LISP機器. 最近,Macsyma又被轉讓給專業公司Macsyma Inc.

Macsyma系統的命運代表了符號計算軟體在20世紀中後期發展的三個階段：60年代的專門化程序、70年代的通用程序和80年代的商業化軟體.

總之, 在過去的幾十年內, 計算機代數系統軟體以巨大的速度增長.據Pavelle, Rothstein和Fitch的估計,  在過去的半個多世紀中有60多個計算機代數軟體系統被開發. 這裡,除上面提到的Macsyma,  再列出一些著名的軟體.

Reduce, 由A. C. Hearn用LISP語言開發,最初用於力學和高能物理中的計算, 後來成為一個廣泛應用的通用軟體.

MuMATH, 是由David Stoutemyer將計算機代數系統在小型PC上實現的,鑑於PC的限制, 這些計算機代數系統的功能是驚人的.這一軟體先命名為MuMATH, 後以Derive為名字投入市場.這一系統已經裝入HP公司的袖珍計算器HP-95並能處理大約80％的大學教學內容.

Maple, 用C語言編寫, 由加拿大Waterloo大學的Keith Geddes和GastonGonnet在20世紀80年代發起的一個科研項目演變而成,該項目的本來為用戶提供應用計算機代數的工具.與其他計算機代數系統相比, Maple的效率較高.這是由於它的設計特點：系統的核心由儘可能小的關於最基本運算的程序組成,這些運算包括指令翻譯, 整數、有理數和多項式運算, 空間管理.該軟體的其餘部分是由Maple語言寫成的軟體包.這些數學軟體包的管理很靈活, 用戶可以加入、改變和刪除函數.目前已有大量的專用軟體包.

Mathematica,也是用C 語言寫成的,是由Stephen,Wolfram組織編寫的. StephenWolfram早期曾編寫8MP系統. Mathematica有很新穎的特點. 如,代數發動機和用戶接口有本質的差別; 它綜合了符號計算、數值計算和作圖功能; 它具有結構清晰的用戶編輯語言; 在某些機器上(如,Macintosh, NeXT, PC MS-DOS Windows)有``筆記本''的功能,利用該功能可以編譯數學公式、Mathematica程序、預先設計好的計算和圖形等. 與其他系統相比,Mathematica成功地吸引了很多學術界以外的注意,是最引人注目的商業系統.

SCRATCHPAD, 用LISP語言編寫, 由IBM公司的Jenks和Griemer組織編寫的.它綜合了重寫規則和冪級數動態賦值的想法.

SCRATCHPAD-II能夠系統地處理諸多類型的代數數據.SCRATCHPAD-II的下一代是AXIOM, 由NAG Ltd.開發.

CAYLEY系統, 由John Canon在雪梨開發, 主要用於群論和組合學.

20世紀90年代以後,研究者的主要目標轉移到開發行之有效的算法和應用上.其他相關的研究課題是開發符號計算的語言概念、友好的用戶界面、各種代數對象的圖形顯示（如, 代數曲線、曲面等）,適合於符號運算操作的計算機結構設計等等.

計算機代數研究最主要的動機是其在生物學(如,RNA的第二構造)、化學(如, 化學過程的平衡屬性)、物理學(如,Feynman圖的評估)、數學(如, Macdonald-Morris Conjecture)、計算機科學(如, IEEE標準算法的設計)以及機器人(如,多連杆機器人的反動態解)等眾多學科的應用.

特別值得一提的是,計算機代數在求解微分方程方面的研究和程序開發,近幾年來取得了很大進步,利用Maple系統和Mathematica系統編寫的處理微分方程問題的專用程序有上百個.如求微分方程的無窮小對稱、可積條件、微分多項式方程組的Wu-Ritt約化算法、微分Grobner基方法等等. 我國在這方面的研究也已經取得了很好的成果.

隨著計算機代數系統的流行和廣泛使用, 計算機代數的研究也越來越活躍.國際計算機協會(Association for ComputingMachinery)支持的學術研討會ISSAC  (International Symposiumon Symbolic and Algebraic Computation) 每年夏天都舉行一次.在亞洲各國舉辦的ASCM(Asian Symposium on Computer Mathematics)也逐漸成為報告計算機代數研究成果的重要園地. 

 Journal  of  Symbolic  Computation是發表計算機代數研究成果的主要國際期刊,此外,計算機代數應用方面的研究成果也越來越多地出現在其他重要雜誌和期刊上.

關於計算機代數系統更為詳細的說明可以在相應的網站查到, 如

Axiom (http://arch.axiom-developer.org),

CoCoA (http://cocoa.dima.unige.it),

Maple (http://www.maplesoft.com),

Mathematica (http://www.wolfram.com/products/mathematica),

Reduce (http://www.uni-koeln.de/REDUCE),

Singular (http://www.singular.uni-kl.de).

此外, 2003年出版的一本 Computer  Algebra Handbook——Foundation Application  and  Systems（《計算機代數手冊》）也是很好的參考書.

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