數三角形與三角形數

2021-02-07 庫庫數學

今天這道題來自庫庫夏天出給女兒的「Daily Math for Alice」小學數學趣題集，當時用英文出的，如下：

翻譯過來是這樣的：

如圖將一個大三角形從頂點插入3條直線，使其分為4個小三角形區域。

第二問：如法炮製插入9條直線的話，又會一共有多少個不同的三角形呢？

歸類：小學｜排列組合，小學｜四則運算

下面的解析，來自尚在內測的「庫庫數學」，歡迎大家提前加入，享受訂閱優惠～～

參考答案

正式解析之前，我們先看庫庫曾經分享到抖音的一個小視頻：

是不是發現了有趣的規律？每個小三角形裡從左到右依次標記1、2、3、4、.，然後將這些數加起來，就是所有三角形的個數。

為何這樣做呢？譬如在第四個小三角形裡標記4，對應哪四個不同的三角形呢？首先是第四個小三角形它自己（計數1），接著是它與左邊相鄰三角形組成的稍大的三角形，包括它與前一個相鄰（計數2）、它與前兩個相鄰（計數3）、它與前三個相鄰（計數4），合計為4個不同的三角形。而且注意，這裡新增的4個三角形都有一個共同特徵，即它們右側的邊都是同一條新加入考慮的邊，與以往計數的三角形不同，因此並沒有重複計數哦～

所以回到本題兩問，當插入3條直線，一共分割為4個小三角形，則答案是1+2+3+4 = 10；當插入9條直線，一共產生10個小三角形，則答案為1+2+.+9+10 = 55。

推而廣之，如果插入(n-1)條直線，一共分割為n個小三角形，用著名的「高斯求和法」，可計算出總共有n(n+1)/2個三角形，而這個代數式，在數學上有個專門的名字，恰好就叫做「三角形數」（Triangular numbers)。

最後再給大家分享個美國中餐館裡常見的幸運餅乾（fortune cookie）裡的小紙條，大家試著翻譯一下😄

不斷嘗試是解決任何問題的最佳角度啦～

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