歷史的軌跡——從畢達哥拉斯學派「萬物皆數也」說起

【題記】文學和科學相比，的確沒什麼用處，但文學最大的用處，也許就是它沒有用處。教育也如此，所謂的分數、學歷、甚至知識都不是教育的本質，教育的本質是：一棵樹搖動另一棵樹，一朵雲推動另一朵雲，一個靈魂喚醒另一個靈魂。
—— 莫言

世界上最簡單的數學題是什麼？應該是1+1=2啦。別看它簡單，它是兒童數學啟蒙的一小步，卻是人類數學起步的一大步。數學從遠古時期發展到今天，從涓涓細流到匯入海洋，我們追溯尋訪它的源頭，是從認識自然數開始的。從1+1=2開始，人類播下了數學的種子，數學的創世紀就開始了。
我們的數學之旅從薩摩島的畢達哥拉斯開始。公元前6世紀畢達哥拉斯學派活躍在義大利南部，他們堅信數是宇宙的本原，研究數學就是探索自然的奧秘，數學是寄託了他們的熱情而矢志不渝的信仰——萬物皆數也！
第一章 數有形狀
如果說認識自然數、研究自然數的性質是數學的起源，那麼東西方數學在起步階段就各自選擇了不同的發展道路。我國古代數學的輝煌成就寫在數學史上，走另一條路的西方數學又有怎樣的精彩演繹呢？我們去看看吧。
與小棍形狀的算籌不同，古希臘人選擇了海灘上最常見也很方便的小石子來表示數。用一堆堆小石子表示一個個自然數，作為數學研究的工具，畢達哥拉斯學派發現了數有形狀。
請看下圖。

用棋子擺出的1到10的自然數

圖上用圍棋子代替鵝卵石擺出了1至10的自然數。這種表示方法化抽象為直觀，能夠幫助我們更好的掌握數的概念，理解數的性質。
通過對小石子的不同排列方式的嘗試，我們發現了三角形數。
請看下圖。

正方形數和三角形數

1,3,6,10,15……這樣的數可以排成三角形，稱為三角形數。第二個三角形數可以排成兩層的三角形，第三個三角形數可以排成三層的三角形數，以此類推。
打撞球的開局階段，紅球整整齊齊地排成三角形，數一下有5層，第五個三角形數是15，所以有15個紅球。
對三角形數的進一步研究，我們發現了計算等差級數之和的公式。
請看下圖。

等差級數求和圖解

當我們在思考如何快速計算1+2+3......+9之和時突發奇想，這個孤單的三角形好像缺失了一半，要不要補上？於是補上一個相同的三角形就拼接成一個長方形了。長方形很好算，再除以2就是我們要求的三角形數了：
9×10÷2=45
把這個計算結果推廣的到普遍情況，我們得到了等差級數求和公式：

緊接著，我們發現了正方形數。1,4,9,16......這樣的數可以排成一個正方形，稱為正方形數。用小石子研究正方形數，我們發現從1開始，連續奇數之和是正方形數，也是平方數。
請看下圖。

連續奇數構成平方數

兩個連續的三角形數相加構成正方形數

圖形直觀地告訴我們，1.兩個連續的三角形數相加構成正方形數；2.不斷的加上奇數，就會得到一層又一層不斷增大的正方形數。由此可見，正確地擺放小石子是優雅的數學證明的開始。
由圖可知，每一個奇數都能排成磬折形（正方形去掉一個角後剩下的部分就是磬折形，又稱為拐角形）。所以有4² - 3²=3+4，抽象成數學規律就是：
(n+1)² - n² =n+n+1=2n+1
再看這張圖：

連續的奇數排成磬折形

發現立方數

在九宮格第一行依次擺放1,2,3；第一列依次擺放1,2,3；剩下的格子按照行和列相乘的積擺放數字。我們發現，每個磬折形的數字之和都是立方數。
2+4+2=2³
3+6+9+6+3=3³
……
發現數學之美，從正確地排列小石子開始。
請看下圖，我們又陸續發現了五邊形數和六邊形數。

第二章 發現質數
我們把自然數按照兩個一排的方式排列，有的數能夠排成相等的兩列，有的不能。於是發現自然數可以分為奇數和偶數，它們在自然數隊列中交替出現，能夠被2整除的是偶數，反之則是奇數。
我們用小石子做加法，發現數學規律：
奇數+偶數=奇數；偶數+偶數=偶數；奇數+奇數=偶數。
進一步研究，發現大於2的偶數能夠排成長方形，而奇數有的能夠排成長方形，有的奇數脾氣古怪非常倔強，怎樣都不能排成長方形。不能排成長方形的個性倔強的奇數就是質數，它們只能被1和自身整除。質數是數字王國的基本元素，與自然界有限的化學元素不同，它們的數量是無限的。用質數作為基本原材料，就構建了自然數宏偉的大廈。

發現質數

古希臘的數學家早就證明了質數的數量是無限的。雖然兩個相鄰的質數可以間隔任意數量的合數，但是質數數量是無限的。公元前300年，歐幾裡得在《幾何原本》第九卷最早給出了質數無窮多的證明。
關於質數給小學生一個溫馨提示：1不是質數也不是合數，從2開始，每個自然數不是質數就是合數。不然，怎麼會有獨一無二、天下無雙的成語呢？
第三章 數有感情，萬物皆數也
畢達哥拉斯學派不僅發現了勾股定理，還進一步發現了無理數。發現了根號2是無理數，引發了第一次數學危機，還鬧出了無理數謀殺案，追求真理的希帕蘇斯獻出了寶貴的生命。
反觀我國古代數學，雖然數論方面有輝煌成就，但在質數、無理數方面乏善可陳。
下面分享畢達哥拉斯的一個經典瞬間：
萬物皆數
萬物莫逃乎數。是數也，先天地而已存，後天地而已立。
——楊輝《日用算法·序》
大約公元前530年，薩摩斯島的畢達哥拉斯（Pythagoras of Samos，公元前570？－前495？），風塵僕僕，來到了義大利南部。他在克羅託內（Crotone），開壇布道，廣收門徒。從愛琴海到尼羅河，從新月沃土（Fertile Crescent）到恆河之津，足跡遍布希臘世界的哲人吸引了來自各個階層的有志青年。
在知識與智慧的園地還幾乎是一片荒漠的時候，一個用腳步丈量世界的心靈無疑是荒原裡最引人注目的參天巨木。年輕人紛紛匯聚到濃密的綠蔭下，靜靜地聆聽那些從宇宙深處、靈魂源頭飄蕩而來的美妙音樂:
星辰流轉，鶯飛草長；
人事代謝，寒來暑往；
自然的樂章，是數的交響！
後世「逍遙學派」的庭院漫步式教學法並不合畢達哥拉斯的口味，「教主」顯然更喜歡居高臨下的感覺，這裡不歡迎自由散漫、質疑詰問的學生，只有正襟危坐、點頭稱是的徒眾。端坐在巨石上的畢達哥拉斯清清嗓子開始吟誦解讀世界的「密碼」——自然數:
1——萬物本源，智慧的終端；
2——對立與矛盾，審視與反思；
3——雜然流形，實體所在；
4——永恆的正義，宇宙的創生；
5——奇（3）與偶（2），雄與雌，是婚姻；
6——神之生命，賦予靈魂；
7——意外的恩賜，是機會；
8——和諧，散布於友誼和愛情；
9——理智的力量；
10——包容一切，至善與完美。
一個個充滿渴望的稚嫩頭腦陷入了沉思，哲人躍起而呼——萬物皆數！
以上內容摘自《德爾斐的囚徒——從蘇格拉底到愛因斯坦》，李輕舟著。

計算19²的方法

請看上圖，用圍棋子演示了計算19×19的方法：

19×19=（10-9）²+4×10×9=4×90+1=361

原理是（a+b）² =（a-b）²+4ab
總結：這種藉助擺小石子來計數的方法，可能看起來有些奇怪，但其實這是一種非常古老的計算手段，數學有多長的歷史，這種擺小石子算法的歷史就有多長。熟悉語言學的讀者應該知道，計算一詞，英文中叫作calculate，這個詞是由拉丁語詞彙calculus演化而來的，calculus在拉丁語中的意思正是「計算用的鵝卵石」。要體會計算的樂趣，領略數學的美妙，你並不需要愛因斯坦般的天賦（「愛因斯坦」在德語中的意思是「一塊石頭」），但手持一些小石子，藉助數形結合方法確實能夠幫助你開拓思路，更直觀、更形象地理解一些巧妙的計算方法。
數學是抽象的，但它來源於人類勞動和社會生產生活實踐。到數學的源頭看看，那是多姿多彩，氣象萬千，並不抽象，而且生動活潑，具體形象。當我們從萬千現象中概括出普遍的數學規律時，生動的數學雖然抽象化了，它卻變成了一把屠龍刀，威力更大了。
數形結合是一種很好的數學工具，它在直觀和抽象之間架設了一道橋梁。華羅庚說得好：
數與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛。數缺形時少直覺，形少數時難入微。數形結合百般好，隔裂分家萬事非。切莫忘，幾何代數統一體，永遠聯繫，切莫分離！（引自華羅庚著《談談與蜂房結構有關的數學問題》）

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附錄：1000以內的質數

2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97，

101，103，107，109，113，127，131，137，139，149，151，157，163，167，173，179，181，191，193，197，199，

211，223，227，229，233，239，241，251，257，263，269，271，277，281，283，293，

307，311，313，317，331，337，347，349，353，359，367，373，379，383，389，397，

401，409，419，421，431，433，439，443，449，457，461，463，467，479，487，491，499，

503，509，521，523，541，547，557，563，569，571，577，587，593，599，

601，607，613，617，619，631，641，643，647，653，659，661，673，677，683，691，

701，709，719，727，733，739，743，751，757，761，769，773，787，797，

809，811，821，823，827，829，839，853，857，859，863，877，881，883，887，

907，911，919，929，937，941，953，967，971，977，983，991，997。