備戰2013小升初:數學知識點之最值問題

2020-12-15 成都奧數網

　　成都奧數網10月19日 為幫助更多2013成都小升初的同學們順利升學，成都奧數網整理了小升初數學必考知識點，適合六年級同學小升初複習之用，低年級也可以提前學習一下。

　　最值問題

　　內容概述

　　均值不等式，即和為定值的兩數的乘積隨著兩數之差的增大而減小。各種求最大值或最小值的問題，解題時宜首先考慮起主要作用的量，如較高數位上的數值，有時局部調整和枚舉各種可能情形也是必要的。

　　典型問題

　　1.有4袋糖塊，其中任意3袋的總和都超過60塊。那麼這4袋糖塊的總和最少有多少塊？

　　【分析與解】  方法一：設這4袋為A、B、C、D，為使4袋糖塊的總和最少，則每袋糖應儘量平均，有A、B、C袋糖有20、20、21塊糖。

　　則當A、B、D三袋糖在一起時，為了滿足條件，D袋糖不少於21塊，驗證A、B、C、D這4袋糖依次有20，20，2l，2l時滿足條件，且總和最少。

　　這4袋糖的總和為20+20+21+21=82塊。

　　

　　3（a+b+c+d）>240,a+b+c+d>80，因為a、b、c、d均是整數，所以a+b+c+d的和最小是81.至於為什麼會出現這種情況。如何避免，希望大家自己解決。

　　2.用1，3，5，7，9這5個數字組成一個三位數ABC和一個兩位數DE，再用O，2，4，6，8這5個數字組成一個三位數FGH和一個兩位數IJ.求算式ABC×DE-FGH×IJ的計算結果的最大值。

　　【分析與解】  為了使ABC×DE-FGH×IJ儘可能的大，ABC×DE儘可能的大，FGH×IJ儘可能的小。

　　則ABC×DE最大時，兩位數和三位數的最高位都最大，所以為7、9，然後為3、5，最後三位數的個位為1，並且還需這兩個數儘可能的接近，所以這兩個數為751，93.

　　則FGH×IJ最小時，最高位應儘可能的小，並且兩個數的差要儘可能的大，應為468×20.

　　所以ABC×DE-FGH×IJ的最大值為751×93-468×20=60483.

　　評註：類似的還可以算出FGH×IJ-ABC×DE的最大值為640×82-379×15=46795.

　　3.將6，7，8，9，10按任意次序寫在一圓周上，每相鄰兩數相乘，並將所得5個乘積相加，那麼所得和數的最小值是多少？

　　

　　【分析與解】  我們從對結果影響最大的數上人手，然後考慮次大的，所以我

　　們首先考慮10，為了讓和數最小，10兩邊的數必須為6和7.

　　然後考慮9，9顯然只能放到圖中的位置，最後是8，8的位置有兩個位置可放，而且也不能立即得到哪個位置的乘積和最小，所以我們兩種情況都計算。

　　8×7+7×10+10×6+6×9+9×8=312;

　　9×7+7×10+10×6+6×8+8×9=313.

　　所以，最小值為312.

　　4.一個兩位數被它的各位數字之和去除，問餘數最大是多少？

　　【分析與解】設這個兩位數為 =lOa+b，它們的數字和為a+b,因為lOa+b=（a+b）+9a，所以lOa+b≡9a（mod a+b），

　　設最大的餘數為k，有9a≡k（mod a+b）。

　　特殊的當a+b為18時，有9a=k+18m，因為9a、18m均是9的倍數，那麼k也應是9的倍數且小於除數18，即0，9，也就是說餘數最大為9；

　　所以當除數a+b不為18，即最大為17時，

　　

　　所以最大的餘數為15，此時有兩位數79÷（7+9）=4……15.

　　5.用1，2，3，4，5，6，7，8，9這9個數字各一次，組成一個被減數、減數、差都是三位數的正確的減法算式，那麼這個算式的差最大是多少？

　　【分析與解】 考慮到對差的影響大小，我們先考慮百位數，為了讓差最大，被減數的百位為9，減數的百位為1，如果差的百位為8，那算式就是如下形式：剩下的6個數字為2、3、4、5、6、7，因為百位數字為8，所以我們可以肯定被減數的十位數字比減數要大，而且至少大2，因為1已經出現在算式中了，算式的可能的形式如下：

　　

　　得數的十位只可能是減數和被減數的十位數字之差，或者小1，可能的算式形式如下：

　　

　　但這時剩下的數都無法使算式成立。再考慮差的百位數字為7的情況，這時我們可以肯定減數的十位數比被減數要大，為了使差更大，我們希望差值的十位為8，因此，算式可能的形式為：

　　

　　再考慮剩下的三個數字，可以找到如下幾個算式：

　　　　，所以差最大為784.

　　6. 4個不同的真分數的分子都是1，它們的分母有2個是奇數、2個是偶數，而且2個分母是奇數的分數之和與2個分母是偶數的分數之和相等。這樣的奇數和偶數很多，小明希望這樣的2個偶數之和儘量地小，那麼這個和的最小可能值是多少？

　　

　　7.有13個不同的自然數，它們的和是100.問其中偶數最多有多少個？最少有多少個？

　　【分析與解】  13個整數的和為100，即偶數，那麼奇數個數一定為偶數個，則奇數最少為2個，最多為12個；對應的偶數最多有11個，最少有1個。

　　但是我們必須驗證看是否有實例符合。

　　當有11個不同的偶數，2個不同的奇數時，11個不同的偶數和最小為2+4+6+8+10+12+14+16+18+20+22=132，而2個不同的奇數和最小為1+3=4.它們的和最小為132+4=136，顯然不滿足：

　　當有9個不同的偶數，4個不同的奇數時，9個不同的偶數和最小為2+4+6+8+10+12+14+16+18=90，而4個不同的奇數和最小為1+3+5+7=16，還是大於100，仍然不滿足；

　　當有7個不同的偶數，6個不同的奇數時，7個不同的偶數和最小為2+4+6+8+10+12+14=56，6個不同的奇數和為1+3+5+7+9+11：36，滿足，如2，4，6，8，10，12，22，1，3，5，7，9，11的和即為100.

　　類似的可知，最少有5個不同的偶數，8個不同的奇數，有2，4，8，10，16，1.3.5，7，9，11，13，15滿足。

　　所以，滿足題意的13個數中，偶數最多有7個，最少有5個。

 

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