數學知識|函數奇偶性的幾種判斷方法

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在函數奇偶性概念的學習中，應多方面、多角度地思考概念的內涵，要掌握函數奇偶性定義的等價形式，注重尋求簡捷的解題方法，函數奇偶性的定義是：如果對於函數定義域內任意一個x，都有（或），那麼函數就叫做奇函數（或偶函數）。函數奇偶性的定義反映在定義域上：若是奇函數或偶函數，則對於定義域D上的任意一個x，都有，即定義域是關於原點對稱的。函數奇偶性定義給出了判斷奇偶函數的方法。

下面給出函數奇偶性判斷的其他等價形式，尋求比較簡便的判別方法。

1、相加判別法

對於函數定義域內的任意一個x，若，則是奇函數；若，則是偶函數。

例1、判斷函數的奇偶性。

解法1：利用定義判斷，由

，可知是奇函數。

解法2：由x∈R，知。因為

，所以是奇函數。

2、相減判別法

對於函數定義域內任意一個x，若，則是奇函數；若，則是偶函數。

例2、判斷函數的奇偶性。

解析：由x∈R，知。因為

，所以是偶函數。

3、相乘判別法

對於函數定義域內任意一個x，若，則是奇函數；若，則是偶函數。

例3、證明函數是偶函數。

證明：由x∈R，知。因為

，所以是偶函數。

4、相除判別法

對於函數定義域內任意一個x，設，若，則是奇函數；若，則是偶函數。

 

例4、證明函數是奇函數。

證明：由，知且，所以定義域關於原點對稱。

因為，所以是奇函數。

總結：上述各例，若用定義判定，則困難程度可想而知。用等價定義判斷解析式較為複雜的函數的奇偶性時，方便快捷，可化繁為簡，會使大家感到思路清晰，目標明確，思維視野大為開闊，值得同學們注意。