函數奇偶性考點之分段函數奇偶性的判斷
hello，大家好，這裡是尖子生數理化教育，很高興又在這裡跟大家交流學習技巧了。
這次課程我們來為大家講一下分段函數奇偶性的判斷方法，教你輕鬆拿下分段函數的奇偶性的判斷。
上次課程我們已經給出了函數奇偶性的基本概念以及怎麼去判斷奇偶函數，這次課程咱們首先來說一下奇偶函數的性質，然後結合例題講一下分段函數如何求解奇偶性。
奇偶函數的性質
偶函數是一定滿足f(x)=f(–x)的函數，因此偶函數的圖像一定是關於y軸對稱的，奇函數一定滿足：f(x)=–f(–x)，因此奇函數的圖像一定是關於原點對稱的。
性質2:奇函數在0處有定義，一定有f(0)=0
注意事項1:如果函數f(x)在0處有定義，但是f(0)不為0，那麼f(x)一定不是奇函數。
為什麼呢？因為如果f(x)是奇函數，一定有f(x)=–f(–x)，即f(0)=–f(0)，移項，合併同類項，得：2f(0)=0，求解得：f(0)=0。
注意事項2:判斷函數在給定區間內是否是奇偶函數，必須要嚴格驗證函數給定區間上的每個點，只要有任何一個點不滿足奇偶函數表達式的概念，這個函數就不是奇偶函數。
分段函數怎麼判斷函數的奇偶性
下面咱們結合例題來給出分段函數奇偶性的判斷方法。
例題1:已知f(x)=x(x>0)，f(x)=–x(x<0)，f(x)=0(x=0)，判斷f(x)的奇偶性。
解：先根據函數的表達式求出函數的定義域(分段函數的定義域為各個區間定義域的併集)。由題意知f(x)的定義域為R，關於原點對稱。
當x>0時，f(x)=x，–x<0，f(–x)=–(–x)=x，即f(x)=f(–x)(x>0時成立)
當x<0時，f(x)=–x，–x>0，f(–x)=–x，f(x)=f(–x)(當x<0時成立)，當x等於0時，f(0)=f(0)(即x=0也成立。)，因此f(x)為偶函數。
例題2:f(x)=2x–1(x>0)，f(x)=1+2x(x<0)，f(x)=0(x=0)
解：當x>0時，f(x)=2x–1，–x<0，f(–x)=1+(–2x)=1-2x，即f(x)=-f(–x)(x>0時成立)
當x<0時，f(x)=1+2x，–x>0，f(–x)=–2x-1，f(x)=-f(–x)(當x<0時成立)，當x等於0時，f(0)=0，因此f(x)為奇函數。
例題3:f(x)=2x–1(x>0)，f(x)=1+2x(x<0)，f(x)=1(x=0)
解：當x>0時，f(x)=2x–1，–x<0，f(–x)=1+(–2x)=1-2x，即f(x)=-f(–x)(x>0時成立)
當x<0時，f(x)=1+2x，–x>0，f(–x)=–2x-1，f(x)=-f(–x)(當x<0時成立)，當x等於0時，f(0)=1，因此f(x)為為非奇非偶函數。
最後兩道題目看上去很相似，但是結果是不同的，希望大家能夠認真思考和理解哦，找到他們的區別。
時間關係，本次課程我們就為大家分享到這裡了，我們下次課再見。如您有相關的疑問，請在下方留言，我們將第一時間給以大家滿意的回覆。
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