函數的奇偶性模型快速解題規律歸納
判斷函數奇偶性的步驟
(1)求函數的定義域;
(2)判斷定義域是否關於原點對稱,若不對稱,則函數為非奇非偶函數,若對稱,則進行下一步;
(3)判斷f(-x)與f(x)的關係,若f(-x)=f(x),則函數f(x)為偶函數,若f(-x)=-f(x),則函數f(x)為奇函數,若f(-x)≠±f(x),則f(x)為非奇非偶函數;
(4)得出結論.
函數奇偶性的幾個重要快速解題結論
1.f(x)為奇函數f(x)的圖象關於原點對稱;f(x)為偶函數f(x)的圖象關於y軸對稱.
2.如果函數f(x)是偶函數,那麼f(x)=f(|x|).
3.既是奇函數又是偶函數的函數只有一種類型,即f(x)=0,x∈D,其中定義域D是關於原點對稱的非空數集.
4.奇函數在兩個對稱的區間上具有相同的單調性,偶函數在兩個對稱的區間上具有相反的單調性.
5.偶函數在關於原點對稱的區間上有相同的最大(小)值,取最值時的自變量互為相反數;奇函數在關於原點對稱的區間上的最值互為相反數,取最值時的自變量也互為相反數.
重要類型的奇偶函數
經典例題[2018全國卷]
答案:D
總結:1.在用定義判斷函數的奇偶性時,要注意自變量在定義域內的任意性.不能因為個別值滿足f(-x)=±f(x),就確定函數的奇偶性.2.判定分段函數奇偶性時要分段討論f(-x)與f(x)的關係,只有當所有區間上都滿足相同的關係時,才能判定其奇偶性.3.在求出定義域之前,不能化簡函數解析式,否則會使定義域發生變化.