隨機事件的概率問題是近幾年高考中重點考查的內容之一,掌握這一問題的求法,有助於同學們對概率這一章的學習,下面從常見的幾種模型出發來探討一下此類題目的求法。
一、分組問題模型
分組問題一定要分清是有序分組或是無序分組,在此基礎上又需考慮是平均分組或是非平均分組,或是局部平均分組等。
例1 現有強弱不同的10支球隊,若把它們均勻分為兩組進行比賽,分別計算:
(1)2支最強的隊被分在不同組的概率;
(2)2支最強的隊恰在同一個組的概率。
解:(1)10支球隊均分為兩組,共有種分法,而2支最強的隊必須分開的分法有種,記事件A={2支最強隊分在不同組},則P(A)=。
(2)記事件B={2支最強隊分在同組},則B所包含的基本事件數為種,於是P(B)=。
二、分配問題模型
解答與分配問題有關的概率試題的關鍵在於:利用分配問題知識正確地求出基本事件的總和A所包含的基本事件數,通常採用先分組後分配的方法。
例2 有6個房間安排4人居住,每人可以進住任一房間,且進住房間是等可能的,試示以下事件的概率:
(1)事件A,指定的4個房間中各有1人;
(2)事件B,恰有4個房間各有1人;
(3)事件C,指定的某個房間中有2人;
(4)事件D,第一號房間有1人,第二號房間有3人。
解:由於每人可以進住任一房間,則4個人進住6個房間共有64種方法。
(1)指定的4個房間中各有1人,共有種方法,所以P(A)=。
(2)恰有4個房間中各有1人的進住方法有種,所以P(B)=。
(3)從4人中選出2人去指定的房間,有種方法,其餘2人各有5種進住方法,總共有(種)方法,所以P(C)=。
(4)選1人進住第一號房間,有種方法,餘下3人進住第3號房間,只有1種方法,共有(種)方法,所以P(D)=。
三、取數問題模型
取數問題是概率問題的一個重要的模型,解決這一類題的關鍵在於要分清在取數的過程中有無順序,取完數後是否將數放回,另外要注意所取的數是否可以重複選取。
例3 從1、2、3、4、5五個數中任意有放回地連續抽取三個數字,求下列數字的概率:
(1)三個數字完全不同;
(2)三個數字中不含1和5;
(3)三個數字中5恰好出現兩次。
解:從五個數字中任意有放回地連續抽取三個數字,共出現(種)不同的結果。
(1)由於三個數字完全不同的情況有(種),所以三個數字完全不同的概率為。
(2)三個數字中不含1和5的情況有33=27(種),因而所求的三個數字中不含1和5的概率為。
(3)由於三個數字中5恰好出現了兩次的情況有(種),所以三個數字中5恰好出現兩次的概率為。
以上幾種概率模型是隨機事件概率問題中常見的模型,如果我們能夠在學習中充分挖掘它們之間的聯繫與區別,將有利於我們更好地學習這章知識。
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