高中數學導數,已知方程解的個數求參數範圍,重要題型重點講解

2020-12-27 孫老師數學

如果方程是基本方程，例如一元二次方程、簡單指數方程、對數方程、三角方程以及可以分解因式的高次整式方程等等，可以通過求出所有的解來確定方程解的個數；對於比較複雜的方程，往往是求不出它的解的，這樣的方程，一般是通過導數的方法來確定解的個數。首先要把方程問題轉化為函數零點問題，然後藉助導數來確定函數的單調區間，每個單調區間上最多有一個零點，所以可以通過判斷每一個單調區間端點值的符號，來判斷這個區間上有沒有零點，符號相反，有一個零點，都是正值或者都是負值，沒有零點，如果有一個為0，要看實際題意，區間是開區間還是閉區間。已知方程解的個數求參數範圍，和求方程解的個數這兩種題型用的都是上面的知識點，但解題方式正好相反，求方程解的個數問題咱們在上節課已經講過，下面咱們講解如何根據方程解的個數求參數範圍：

第1題分析：第一步，把方程右邊的代數式移到左邊，同時令左邊的代數式成為一個函數g(x)，這樣就可以轉化為求函數g(x)的零點個數問題了；第二步，求出g(x)的單調區間；第三步，分析所有單調區間的端點值滿足什麼條件時，函數g(x)在在[1/2,2]上有兩個零點。先進行第一步和第二步，過程如下：

第三步：根據題意函數g(x)有兩個零點，現在得出g(x)共有兩個單調區間，則這兩個單調區間，每一個都必須有零點。兩個單調區間共三個端點：1/2、1和2，首先根據上面求出的單調性，g(1)是最大值，所以g(1)必須＞0，要使兩個單調區間各有一個零點，令兩個端點值g(1/2)和g(2)都必須≤0，詳細過程如下：

第2題分析：函數f(x)的圖象和x軸僅有一個交點，等價於函數f(x)僅有一個零點，整體思路和第1題一樣，分析過程略，詳細解題過程如下：

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