引用格式：李作濱．素養導向的數學測評研究——以2018年高考為例[J]．數學教育學報，2018，27（6）：33–37．
李作濱
（華東師範大學 課程與教學研究所，上海 200062）
李作濱（1994—），男，江西吉安人，碩士生，主要從事教育測量與評價、課程與教學論研究．
華東師範大學教育學部大學生科研基金項目——基於核心素養的高考數學命題研究：以2018年高考為例（ECNUFOE2018KY097）
關鍵詞：課程標準；數學學科核心素養；測評；高考
中圖分類號：G632.474 文獻標識碼：A 文章編號：1004–9894（2018）06–0033–05
教育以育人為本，為實現教育現代化，學校教育在給學生傳授知識和技能的同時，必須不斷發展和提高學生的核心素養，以適應未來的工作與生活[1]．2014年，教育部印發了《關於全面深化課程改革，落實立德樹人根本任務的意見》，明確提出研製學生發展的核心素養體系和學業質量標準，在此基礎上還要依據學生發展核心素養體系，進一步明確各學段、各學科具體的育人目標和任務[2]．2016年9月13日上午，中國學生發展核心素養研究成果發布會在北京師範大學舉行，會上公布了中國學生發展核心素養總體框架及基本內涵，將學生核心素養定義為「學生應具備的，能夠適應終身發展和社會發展需要的必備品格和關鍵能力」[3]．緊接著於2018年1月，教育部正式印發了《普通高中課程方案和語文等學科課程標準（2017年版）》，新修訂的普通高中數學課程標準體現了鮮明的育人導向，一個重要特點是突出了數學學科核心素養[4]．新修訂的數學課程標準界定了數學學科核心素養的成分，包括數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算、直觀想像、數據分析，這些數學學科核心素養既相互對立，又相互交融，是一個有機整體．新的課程標準還指出數學學業質量水平是6個數學學科核心素養的綜合表現，並且把每一個數學學科核心素養劃分成3個水平，其中水平二是高考的要求，也是高考數學命題的依據[5]．
2014年9月，國務院頒布了《關於深化考試招生制度改革的實施意見》，隨後浙江省和上海市率先開啟了新一輪的高考改革．隨著高考改革的實施與課程改革的不斷推進，數學學科核心素養已經成為數學教育研究的熱點，而數學學科核心素養測評又是其中的關鍵．以往的研究更多地關注數學學科核心素養的內涵[6–8]、核心素養的培養[9–10]及發展核心素養的教學[11–12]，關於核心素養測評的實證研究相對較少，而且大部分是關於中考的測評研究，研究高考的比較少．例如張惠英等以河北省2017年中考試題為例[13]，朱先東等以2017年浙江省中考試題為例[14]，通過分析各省市的中考數學試卷，來研究數學學科核心素養在中考中的考查情況；董林偉和喻平以江蘇省2016年中小學生學業質量監測的測試題目為工具，測試全省82319名初二年級學生的數學學科核心素養發展狀況[15]；劉小慧以2017年高考數學全國II卷試題為例，分析高考命題中數學學科核心素養的考查情況[16]．
高考作為全國範圍內影響最大的考試和一種重要的數學測評工具，近年來隨著數學課程改革的不斷推進，在命題導向上開始有所轉變．在這樣的背景之下，以2018年高考數學全國I卷（以下簡稱全國I卷）為例，通過對高考數學試題的分析，探究高考中數學學科核心素養的考查情況，擬解決的問題是：2018年高考數學試題中對數學學科核心素養的考查有什麼特點？
根據教育部公布的最新數據，2018年全國高考總人數達到了975萬人，同比去年增長35萬人．全國I卷適用的地區是河南、河北、山西、江西、湖北、湖南、廣東、安徽、福建、山東10個省份．這10個省份的考生人數共計501.84萬，佔全國高考報名總人數的51.47%．在所有的高考試卷當中，全國I卷的適用範圍是最廣的，影響力是最大的，研究它的命題特點和素養考查情況對於提高數學測評的水平有著極其重要的意義．
從題型上看，2018年全國I卷試題與2017年保持了一定的聯繫性和穩定性，文理科試卷均為23道考題，其中1—12題為選擇題，13—16題為填空題，17—21題為解答題，22、23題為選考題．試題重視對學生「四基、四能」的考查，其中「四基」是指數學的基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗；「四能」是指發現問題的能力、提出問題的能力、分析問題的能力、解決問題的能力，而且重點突出了對數學學科核心素養的考查．
為了深入了解2018年高考中數學學科核心素養的考查情況，下面以全國I卷試題為例，基於《普通高中數學課程標準（2017年版）》中對數學學科核心素養的界定和水平劃分，參考喻平的「核心素養評價框架」[17]，對高考數學試題素養考查情況作出分析．
數學抽象是指通過對數量關係與空間形式的抽象，得到數學研究對象的素養．主要包括：從數量與數量關係、圖形與圖形關係中抽象出數學概念及概念之間的關聯，從事物的具體背景中抽象出一般規律和結構，並用數學語言予以表徵[5]．在全國I卷中，有多個題目考查學生的數學抽象素養，以理科15題為例．
（2018理數15，5分）從2位女生，4位男生中選3人參加科技比賽，且至少有1位女生入選，則不同的選法共有_____種．（用數字填寫答案）
素養考查分析：該題從實際問題出發，考查了組合學科知識，需要考生掌握一定的組合題解題技能．有些考生能夠將這個實際問題抽象成一個組合數學問題，並寫出解答過程：-=20-4=16．但是有些考生會遇到不同程度的障礙，例如問題的數學抽象過程中有困難、組合運算出錯等．這個題目其實是以「選人問題」為背景，考查學生在真實情境中將具體問題抽象成數學概念、數學關係的能力，即對數學抽象素養的考查，同時對數學建模、數學運算等素養也提出不同程度的要求．
通過高中數學課程的學習，學生能夠在具體的真實情境中積累經驗，形成抽象思維，把握事情的本質，運用數學抽象的思維方式思考並解決實際問題．在2018年的高考數學命題中，對學生數學抽象核心素養的考查已經落實到具體的題目當中，凸顯高考數學命題鮮明的素養導向和育人導向．
邏輯推理是指從一些事實和命題出發，依據規則推出其它命題的素養．主要包括兩類：一類是從特殊到一般的推理，推理形式主要有歸納、類比；一類是從一般到特殊的推理，推理形式主要有演繹．邏輯推理是得到數學結論、構建數學體系的重要方式，是數學嚴謹性的基本保證，是人們在數學活動中進行交流的基本思維品質[5]．全國I卷有多個題目考查學生的邏輯推理素養，以理科18題為例．
（2018理數18，12分）如圖，四邊形ABCD為正方形，E、F分別為AD、BC的中點，以DF為摺痕把△DFC折起，使點C到達點P的位置，且PF⊥BF．
（1）證明：平面PEF⊥平面ABFD；
（2）求DP與平面ABFD所成角的正弦值．
素養考查分析：該題以立體幾何為知識載體，考查學生對「面面垂直」的判定定理、直線與平面所成角等幾何學科知識的掌握，要求學生根據平面圖形進行空間想像，結合已知條件進行邏輯推理，書寫完整的幾何證明過程，並進行相關計算．
解決第一問需要利用「轉化」的數學思想方法，將「面面垂直」的判定轉化到「線面垂直」的判定．直觀想像能力較強的學生能夠找出PF⊥BF和EF⊥BF這兩個關鍵的判定條件，進而利用「線面垂直」的判定定理推出BF⊥平面PEF，從而推出平面PEF⊥平面ABFD，最後書寫完整的證明過程，因此該題第一問主要考查了邏輯推理素養．第二問則主要考察了直觀想像、數學運算素養，整個問題對學生的空間想像能力提出了一定的要求．
通過高中數學課程的學習，學生能夠掌握邏輯推理的基本形式，學會有邏輯地思考問題，能夠在複雜的情境中把握事物的關聯和發展脈絡．此類考題通常以命題、數學歸納、幾何證明等學科知識為載體，要求學生能夠利用題目中給出的已知條件，進行邏輯推理，進而判斷正誤或者寫出證明過程．通過這類題目的考查，能夠讓高考在一定程度上落實邏輯推理素養的考查．
數學模型是對現實問題進行數學抽象，用數學語言表達問題，用數學方法構建模型解決問題的素養．數學建模過程主要包括：在實際情境中從數學的視角發現問題、提出問題，分析問題、建立模型，確定參數、計算求解，檢驗結果、改進模型，最終解決實際問題[5]．下面以理科20題為例，分析高考中數學建模素養的考查情況．
（2018理數20，12分）某工廠的某種產品成箱包裝，每箱200件，每一箱產品在交付用戶之前要對產品作檢驗，如檢驗出不合格品，則更換為合格品．檢驗時，先從這箱產品中任取20件作檢驗，再根據檢驗結果決定是否對餘下的所有產品作檢驗．設每件產品為不合格品的概率都為p(0<p<1)，且各件產品是否為不合格品相互獨立．
（1）記20件產品中恰有2件不合格品的概率為f(p)，求f(p)的最大值點p0．
（2）現對一箱產品檢驗了20件，結果恰有2件不合格品，以（1）中確定的p0作為p的值．已知每件產品的檢驗費用為2元，若有不合格品進入用戶手中，則工廠要對每件不合格品支付25元的賠償費用．
① 若不對該箱餘下的產品作檢驗，這一箱產品的檢驗費用與賠償費用的和記為X，求EX．
② 以檢驗費用與賠償費用和的期望值為決策依據，是否該對這箱餘下的所有產品作檢驗？
素養考查分析：這是一道數學應用題，綜合考查了組合學、概率論、導函數、函數的單調性、函數的最值、數學期望等基本知識，以及運用組合公式、求函數的導函數，判斷函數單調性、計算數學期望等基本技能．
解決第一問，學生要能夠根據題目中的已知條件，抽象出一個數學模型，列出20件產品中恰有2件不合格品的概率函數表達式：f(p)=p2(1-p)18，然後進行求導運算，
f'(p)=[2p(1-p)18-18p2(1-p)17]
=2p(1-p)17(1-10p)，
根據求導結果，令f'(p)=0，得p=0.1．當p∈(0,0.1)時，f'(p)>0；當p∈(0.1,1)時，f'(p)<0．所以f(p)的最大值點為p0=0.1．上述過程包含分析問題、建立模型，確定函數表達式、計算求解，分析並解決問題等多個步驟，這一系列過程又稱為數學建模．
解決第二問，學生需要在正確完成第一問的基礎上，掌握數學期望、二項分布等知識，然後進行數學運算與邏輯推理．可令Y表示餘下的180件產品中的不合格品件數，依題意知Y~B(180,0.1)，X=20×2+25Y，即X=40+25Y，EX=E(40+25Y)=40+25EY=490．由於EX>400，故應該對餘下的產品作檢驗．
所以該題其實是以「產品檢驗」這一實際問題作為載體，賦予問題以真實的情境，從中考查學生的數學建模素養，並對數學運算、邏輯推理等素養提出一定的要求，是一道綜合性較高的題目，有較好的區分度，彰顯高考命題育人導向．
通過高中課程的學習，學生能夠有意識地用數學表現現實世界，發現和提出問題，感悟數學與現實之間的關聯，學會用數學模型解決實際問題，積累數學實踐的經驗．數學應用題是一類重要的考試題型，它以實際問題為背景，學生要能夠發現和提出問題，建立和求解模型，進而檢驗和完善模型，分析並解決問題．這類題可以對數學建模素養進行全面考查．
直觀想像是藉助幾何直觀和空間想像感知事物的形態與變化，利用空間形式特別是圖形，理解和解決數學問題的素養．主要包括：藉助空間形式認識事物的位置關係、形態變化與運動規律；利用圖形描述、分析數學問題；建立形與數的聯繫，構建數學問題的直觀模型，探索解決問題的思路．直觀想像是發現和提出數學問題、分析和解決數學問題的重要手段，是探索和形成論證思路、進行數學推理、構建抽象結構的思維基礎[5]．在2018年的高考數學試題中，有多道題目考查了學生的直觀想像素養，下面以理科第7題為例進行分析．
（2018理數7，5分）某圓柱的高為2，底面周長為16，其三視圖如圖所示，圓柱表面上的點M在正視圖上的對應點為A，圓柱表面上的點N在左視圖上的對應點為B，則在此圓柱側面上，從M到N的路徑中，最短路徑的長度為（ ）
A. 2
B. 2
C. 3
D. 2
素養考查分析：該題為理科數學選擇題第7題，從知識與技能層面來看，綜合考查了學生對幾何圖形與其三視圖之間的對應關係、立體圖的平面展開圖等知識，以及幾何直觀與空間想像能力．為了求出最短路徑的長度，學生首先要根據圓柱體三視圖的長、寬等特徵進行空間直觀想像，畫出該圓柱體的直觀圖，然後畫出圓柱的平面展開圖，並確定點A和點B的位置，再利用兩點之間線段最短的原理求出最短路徑的長度，經過計算可得最短路徑的長度為=2 ，該題主要考查的素養為直觀想像．
通過高中課程的學習，學生在掌握了平面幾何、立體幾何、函數圖象等數學知識的同時，進一步發展空間思維能力和直觀想像素養．此類題較好地考查了學生直觀想像、空間思維等素養，在直觀想像核心素養的形成過程中，引導學生不斷提高運用幾何圖形解決問題的意識，提升數形結合的能力，並感悟事物的本質，培養創新思維．
數據分析是針對研究對象獲取數據，運用數學方法對數據進行整理、分析和推斷，形成關於研究對象知識的素養．數據分析過程主要包括：收集數據，整理數據，提取信息，構建模型，進行推斷，獲得結論[5]．下面將以文科19題為例進行分析．
（2018文數19，12分）某家庭記錄了未使用節水龍頭50天的日用水量數據（單位：m3）和使用了節水龍頭50天的日用水量數據，得到頻數分布表如下：
未使用節水龍頭50天的日用水量頻數分布
使用了節水龍頭50天的日用水量頻數分布
（1）在答題卡上作出使用了節水龍頭50天的日用水量數據的頻率分布直方圖．
（2）估計該家庭使用節水龍頭後，日用水量小於0.35 m3的概率．
（3）估計該家庭使用節水龍頭後，一年能節省多少水？（一年按365天計算，同一組中的數據以這組數據所在區間中點的值作代表．）
素養考查分析：該題考查了頻數分布表與頻率分布直方圖之間的對應關係、平均數、概率等知識，以及紙筆作圖能力、數據分析能力．做好這題，要求學生能夠根據題目中提供的頻數分布表進行數據分析與數學計算．如第三問中，為了求出一年能節省多少水，可先求該家庭使用節水龍頭前後50天日用水量的平均數x：
然後求出使用節水龍頭後一年可節省水
(0.48-0.35)×365=47.45(m3)．
分析發現，該題以使用節水龍頭這一生活情境為問題背景，滲透了對數據分析素養的考查．
通過高中課程的學習，學生應該能夠提升獲取有價值的信息並進行定量分析的意識和能力，適應數位化學習的需要，增強基於數據表達現實問題的意識，形成通過數據認識事物的思維品質，積累依託數據探索事物本質、關聯和規律的活動經驗．分析發現，類似的題目越來越多地出現在高考當中，這也體現了高考越來越重視數據分析素養的考查．
數學運算是在明晰運算對象的基礎上，依據運算法則解決數學問題的過程．主要包括：理解運算對象，掌握運算法則，探究運算方向，選擇運算方法，設計運算程序，求得運算結果等．數學運算是數學活動的基本形式，也是演繹推理的一種形式，是得到數學結果的重要手段[5]．研究發現，2018年的高考試題中很多都涉及到對數學運算素養的考查，下面以理科數學16題為例進行分析．
（2018理數16，5分）已知函數，f(x)=2sinx+sin2x, 則f(x)的最小值是______．
素養考查分析：該題是2018年理科數學填空題的最後一題，為求解函數的最小值問題，題目非常的簡短，看似簡單，其實需要考生熟練掌握函數的單調性、函數求導運算、函數最值等相關知識，以及較強的數學運算求解能力．做好這題的關鍵是找準解題的方法，其中一種解法是利用函數的單調性求其最小值．
為了判斷函數f(x)的單調性，先求函數f(x)的導函數，求導後結果如下：
f'(x)=2cosx+2cos2x=4cos2x+2cosx-2，
再令cosx=t，其中–1≤t≤1，則有
4cos2x+2cosx-2=4t2+2t-2=f(t)，
令f(t)=0，解得t=-1或，所以當-1<t<時f(t)<0，<t≤1時f(t)>0，，故函數f(t)在t=cosx=時取得最小值．綜合來看，該題主要考查的素養為數學運算．
數學運算是貫穿整個學業生涯乃至人一生的素養，在高考中強化對數學運算素養的考查，有利於進一步發展學生的運算求解、有效藉助運算方法解決實際問題的能力．因為數學是一門非常嚴謹的學科，因此對數學運算的準確性要求非常高，不容許有任何的差錯，在某種程度上，這也決定了對學生的要求，要求他們養成一絲不苟、嚴謹求實的科學精神，以及規範化思考問題的品質．
為了全面了解2018年全國I卷數學試題的素養考查情況，對文理科共46道試題素養考查情況進行了詳細分析，並匯總如表1所示．
表1 核心素養考查試題信息匯總
通過分析表1中的數據可以發現，考查數學運算、直觀想像素養的試題數量明顯多於考查數據分析、數學建模素養的試題數量．2018年的文理科試卷對6個數學學科核心素養均有考查，而且對各個素養考查的試題數量沒有顯著性差異，此外文科卷中沒有重點考查數學建模素養的解答題，而理科卷則沒有重點考查數據分析素養的解答題，只是在選擇題中有所考查．進一步分析還可以發現，正如上文第三節素養考查分析中所述，有些試題綜合考查了兩種以上核心素養，例如理科第5、8、9、17、18、19、20、21、22題，文科第17、18、20、21、22題等．
通過分析2018年高考數學全國I卷試題中數學學科核心素養的考查情況，可以大致得出以下幾個結論．
（1）2018年高考數學全國I卷試題整體更側重於創新，情境多樣、思維靈活，不僅考查了學生的基本知識、基本技能，更考查了學生的基本思想和基本體驗活動，以及學生靈活運用所學知識解決真實情境問題的能力．文理科試題均以學科知識為載體，以思維能力為核心，強化了對數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想像、數學運算和數據分析等6項核心素養的考查．這在一定程度上也說明，隨著課程改革與高考改革的不斷推進，數學測評的價值取向正在由知識技能導向轉變為核心素養導向．
（2）研究還發現，2018年的高考數學試題強化了試題的綜合性，有很多題目綜合考查了學生多個核心素養．但是目前的試題整體過分偏重於對數學運算素養的考查，而對數據分析、數學建模素養的考查相對較少．
（3）從試題考查情況來看，2018年的文理科試卷相同的試題數量為8題，並且有7題為選擇題，1題為填空題．在對6個數學學科核心素養的考查試題數量上，文理科沒有顯著性差異，這說明文理科命題越來越趨向於統一化．
測評作為數學教育過程中的一個關鍵環節，肩負著提高數學教育質量、甄別人才的重要使命．高考作為一種重要的測評方式，在其中發揮著至關重要的作用，為了改善目前高考中數學學科核心素養考查的現狀，基於上述分析提出以下幾點建議．
（1）對於目前這種以學科核心素養為導向的高考命題形勢，一線老師需要在教學中注重培養學生邏輯思維的系統性，提高學生的隨機應變能力，讓學生關注現實生活，發現生活中的問題，學著運用課堂上學到的知識來分析問題和解決實際問題．在這個變革的過程中，學校、教育部門、社會都需要樹立長遠的教育質量觀，在日常的教學評價與考核中滲透素質教育的思想理念，進一步完善核心素養測評體系．
（2）在高考數學命題中聚焦數學學科核心素養的考查既符合數學課程改革的方向，也有利於引導高中數學教學回歸到正確的育人軌道上來．隨著以大數據、人工智慧技術為代表的一系列現代科學技術的興起，數據分析早已經深入到科學、技術、工程等各個領域．為適應未來的工作與生活，高中學生必須具備一定的數據分析、數學建模素養．建議在高考命題中適當調整數學運算素養考查權重，加強對數據分析、數學建模素養的考查，設置更為真實的情境，把對數學核心素養的考查融入到具體的學科知識內容和思想方法當中．
（3）2014年9月，國務院發布《關於深化考試招生制度改革的實施意見》，在高考綜合改革試點省市進行考試科目設置改革，高考數學考試將不分文理科，所有考生使用相同的試卷．隨著這項政策的落實，越來越多的省份將不分文理科，今後的高考數學命題將更加統一化、科學化．研究發現，高考數學全國I卷文理科試題越來越趨向於統一化．為了進一步落實新高考政策，積極推進由文理分科命題轉向統一命題的教學轉變，一線數學教師要及時更新知識體系，調整數學教學方法，適應教育新時代背景下的數學教學工作．
[1] 褚宏啟．教育現代化的本質與評價——我們需要什麼樣的教育現代化[J]．教育研究，2013，34（11）：4–10．
[2] 中華人民共和國教育部．教育部關於全面深化課程改革落實立德樹人根本任務的意見[EB/OL]．（2014–04–08）[2018–07–10]. http://www.moe.gov.cn/srcsite/A26/s7054/201404/t20140408_167226.html.
[3] 核心素養研究課題組．中國學生發展核心素養[J]．中國教育學刊，2016（10）：1–3．
[4] 史寧中，林玉慈，陶劍，等．關於高中數學教育中的數學核心素養——史寧中教授訪談之七[J]．課程·教材·教法，2017，37（4）：8–14．
[5] 中華人民共和國教育部．普通高中數學課程標準（2017年版）[M]．北京：人民教育出版社，2018：4–8．
[6] 喻平．數學學科核心素養要素析取的實證研究[J]．數學教育學報，2016，25（6）：1–6．
[7] 呂世虎，吳振英．數學核心素養的內涵及其體系構建[J]．課程·教材·教法，2017，37（9）：12–17．
[8] 蔡金法，徐斌豔．也論數學核心素養及其構建[J]．全球教育展望，2016，45（11）：3–12．
[9] 聶曉穎，黃秦安．論數學課堂文化的內涵與模式及對培養數學核心素養的價值[J]．數學教育學報，2017，26（2）：71–74．
[10] 喻平．數學核心素養的培養：知識分類視角[J]．教育理論與實踐，2018，38（17）：3–6．
[11] 章建躍．高中數學教材落實核心素養的幾點思考[J]．課程·教材·教法，2016，36（7）：44–49．
[12] 李煜暉，鄭國民．核心素養視域下的中小學課堂教學變革[J]．教育研究，2018，39（2）：80–87．
[13] 張惠英，王瑞霖．基於核心素養的數學測評研究——以河北省 2017年中考數學試題為例[J]．數學教育學報，2017，26（5）：31–35．
[14] 朱先東，吳增生．核心素養視角下對數學測評的研究——以2017年浙江省中考試題為例[J]．數學教育學報，2017，26（5）：36–43．
[15] 董林偉，喻平．基於學業水平質量監測的初中生數學核心素養發展狀況調查[J]．數學教育學報，2017，26（1）：7–13．
[16] 劉小慧．聚焦數學學科核心素養的高考命題視角——以2017年高考數學全國Ⅱ卷理科試題為例[J]．中國高新區，2017（18）：97．
[17] 喻平．數學核心素養評價的一個框架[J]．數學教育學報，2017，26（2）：19–23．
Research on Mathematical Assessment of Literacy Orientation——Taking the 2018 College Entrance Examination as an Example
LI Zuo-bin
(Institute of Curriculum and Instruction, East China Normal University, Shanghai 200062, China)
Abstract: In 2014, the Ministry of Education initiated the revision of the standard for high school mathematics curriculum, and in 2018 officially announced the revised new high school mathematics curriculum standards (2017 edition). The new curriculum standards consolidated the core literacy of mathematics, including: Mathematics abstraction, Logical reasoning, Mathematical modeling, Visual imagination, Mathematical operations and Data analysis. As an important mathematical evaluation method, the college entrance examination had been in constant reform. The research was based on the 2018 college entrance examination mathematics national I volume. The test questions were an example to analyze the examination of the core literacy of mathematics in the college entrance examination. The study found that this year’s college entrance examination mathematics test examines the subject knowledge and skills while strengthening the examination of core literacy of mathematics.
Key words: curriculum standards; core literacy of mathematics; assessment; college entrance examination