在掘金上看到這篇文章，感覺很不錯。尤其是對其中的現代組合理論非常感興趣。分享給大家。看了這些理論，我只能用似懂非懂來形容。裡面的數學名詞我基本上學時都學過，那些公式我曾經也看得明白。但畢竟離開書本太久，啃起來超級費勁。尤其是搞懂公式背後真正的含義，更難。
金融投資是一門藝術，事關對經濟的分析、政策的判斷、人性的理解；這又是一項嚴謹的科學，事關隨機微積分、概率統計、優化理論。本文從量化金融的起源開始，還原整個體系的建立、發展與完善的歷史過程，帶你走進數量化金融的世界……
布朗運動
1827年蘇格拉生物學家Robert Brown用他自己的名字命名了微小粒子在液體中自由運動的現象：布朗運動。這種「隨機遊走」的理念後來貫穿於許多科學領域，尤其是普遍運用於各種不可預測的連續時間過程的機制，基於布朗運動的對數正態隨機遊走理論也是金融市場的經典框架，為之後的量化金融的蓬勃發展奠定了基礎。
量化開拓者
Louis Bachelier是第一個量化描述布朗運動的人。他在1900年的論文中提出，影響股票價格漲跌的原因是無窮無盡的，無法用概率論模型來動態準確地預測，這也不是一項精確意義上的科學；
但是在市場的某一個靜態的時刻，可以建立數學模型來分析市場漲跌的概率的大小，這就是隨機遊走的數學理論基礎。他的模型為後來的研究工作提供了大量的參考，例如股票價格模型、期權定價模型等，但遺憾的是在他的有生之年都沒有引起業界的重視，它的價值直到幾十年後才被後人發現。
擴散方程
許多期權相關的模型最終歸結於一個擴散方程，這是一個偏微分方程，一般通過數值方法計算。主流的兩種方法是模特卡羅法和有限差分（一個更為複雜的二叉樹模型）。
有限差分方法最初由LewisFry Richardson在1911年提出，他將微分方程離散成了差分方程，用來解決天氣預測中擴散方程問題。Richardson後來從事戰爭原因數學模型的研究。
維納過程
1923年，NorbertWiener為布朗運動建立了一套嚴格的理論體系，這也是之後幾十年的量化金融的數學基礎，在數理類學術論文中被大量引用。
在純數學領域，維納過程在連續鞅以及連續時間隨機過程、擴散過程、位勢論中發揮重要作用；在應用數學領域，維納過程用來代表白噪聲高斯過程的積分，是信號處理、控制理論的重要模型；在物理學、量子力學方面，維納過程也有廣泛的運用；在數量金融領域，它是Black-Scholes期權定價模型的基礎。
數量經濟學
說到20世紀的經濟學家，美國人Paul Samuelson算是最有影響力的之一，他建立了經濟學理論的科學分析體系，被稱為現代經濟學之父，也是第一位獲得諾貝爾經濟學獎的美國人。
Samuelson建立了宏觀和微觀經濟學數量化體系，代表的研究成果包括消費理論中的功效函數、福利經濟學裡面的Lindahl–Bowen–Samuelson條件、資本市場理論中的隧道理論、金融市場中的有效市場假說、公共金融學中的最優化配置、國際金融學中的Balassa–Samuelson效應和Heckscher–Ohlin 模型等。
Samuelson重新發現了Bachelier的研究論文，為後來的期權定價理論打下了基礎。他的衍生品定價理論是基於數學期望的，這和之後的風險中性理論有很大的差別。Samuelson從哈佛大學拿到了經濟學博士，並在25歲的時候成為MIT的助理教授，該校的經濟學專業也在他的帶領下成為世界經濟學領域的翹楚。他的學生Robert M. Solow，Franco Modigliani，Robert C. Merton，Joseph E. Stiglitz 和Paul Krugman，也都獲得了諾貝爾經濟學獎。
伊藤引理
很難想像如果金融學領域沒有了隨機過程或者伊藤微積分會是怎樣的，有些人甚至認為金融學就是伊藤微積分。KiyosiIto證明了獨立變量隨機微分方程和該變量函數的隨機微分方程之間的關聯，其中一個經典的衍生品定價理論就是資產價格演變的對數正態隨機微分方程，伊藤引理告訴我們了該資產期權價格的隨機微分方程。
簡單地說，如果有一個維納過程X和一個均值為0、方差為dt的正態分布的增量dX，那麼增量的函數F(X)可以用泰勒二階展開表示為：
現代組合理論
1952年，HarryMarkowitz第一個提出了投資組合理論的量化模型，這是一個非常優雅的理論，創新性地給出了有效市場組合的概念，同時對資產的波動性和相關性的意義做了描述。Markowitz認為資產組合可以獲得比單個資產更好的表現，對於這個「更好」，是基於預期收益和標準方差的量化指標，標準差被用來解釋風險。對於任何一個資產組合，在特定風險的條件下，都可以獲得一個最優的收益，這個組合的位置連成的曲線稱為「有效前沿」，曲線上的每個點都是一個有效組合。
Markowitz因為這項研究成果獲得了諾貝爾經濟學獎，但實際過程中卻很少使用這個理論，原因是這個模型做了很多在理想狀況下，而市場中卻不存在的假設；同時模型的一些參數，例如波動性、相關性都不容易衡量，但計算的結果對這些參數又十分敏感，從而導致模型的不穩定性。
資本資產定價模型
1963年，史丹福大學的William Sharpe，哈佛大學的JohnLintner和挪威的經濟學家Jan Mossin在Markowitz現在投資組合理論的基礎之上，用一個簡單的模型對風險資產進行定價，即資本資產定價模型(Capital Asset Pricing Model)。這個模型將資產收益對市場變化的敏感性用β來表示，同時將無風險收益率考慮在內，得出風險資產預期收益率。
CAPM考慮一種特殊形式的功效函數，只包含了收益率的一階矩和二階矩，換句話說就是收益率的分布僅僅由均值和方差決定。在這些條件下，CAPM認為權益的成本僅僅由β決定。和現代組合理論類似，CAPM也有一系列過於理想化的假設，導致模型在實證分析中效果不佳。不過儘管之後出現了套利定價理論等更為複雜精確的模型，CAPM由於它的簡單易用，直到現在依然很受歡迎。
有效市場假說
1965年，芝加哥大學的經濟金融學博士Fama在他的博士論文中分析了股票價格變動的行為，並得出結論：短期的股票價格不可預測，近似於隨機遊走。股票市場收益是厚尾分布，這意味著一些極端情況的出現相比於正態分布假設下出現的頻率更高。
1970年，Fama提出了有效市場的理論，主要分為兩大部分：一是將市場的有效性分為三種情況：強勢有效、半強勢有效和弱勢有效，解釋了在不同的市場有效性的情況下，公開信息是如何反應到股票價格中；二是認為在無法否定市場平衡的情況下，市場的有效性也無法被拒絕。這個概念稱為「聯合假設問題」，意思是市場有效性需要由預期收益來進行驗證，但是往往預期收益和實際收益的偏差很大，因此我們無法證明市場是非有效的，研究者只能不斷通過修改模型來減少市場偏差。
Fama的另一個貢獻就是他的三因子模型。在資本資產定價模型（CAPM）等傳統理論下，投資組合的全部風險溢價由Beta係數表示。但是這一模型在解釋股票市場回報的現實情況上，如一月效應，遇到了諸多挑戰。Fama和French觀察發現市值較小、市值帳面比較低的兩類公司更有可能取得優於市場水平的平均回報率。由此三因子模型通過引入二個新的解釋變量：市淨率、公司規模、與CAPM中的市場指數一同估計股票的回報水平。
其中r是投資組合的期望收益率，Rf是市場無風險收益率，Rm是市場組合的收益率，三個變量的待估係數beta是市場組合風險溢價、規模溢價、市淨率溢價三個因素變化對期望收益率的影響，其中市場組合風險溢價的係數beta概念接近於CAPM模型中的beta係數。
公司規模變量SMB是指由市值小的公司組成的投資組合回報與市值大的公司組成的投資組合回報之差，市淨率溢價HML是帳面價值比較高的公司組成的投資組合回報與比值較低的公司投資組合回報之差。alpha是超額收益率，在理想的情況下，投資組合的超額回報將全部被三因素解釋，從而alpha應在統計學意義上等於0。
準隨機數
1960年代中期，許多學者開始致力於準隨機數理論，或者稱為低偏差序列理論的研究。這個課題關心的是一系列點在任意維度的分布情況，以儘可能少量的點最大程度覆蓋整個空間。粗略來講，如果一個序列中隨機取出一部分點組成集合B並且和B的測度接近，多次試驗取平均值的情況下，可以認為序列的偏差較低。低偏差序列並不是隨機，也不是偽隨機，它通常用來代替隨機均勻分布序列，它通常具有隨機數的一些性質，因此在多個領域中發揮重要運用。
相比於純隨機數，準隨機數可以更快速地解決一些問題。確定性的方法一般只有在所有數據都完備的時候，給出一個精確解；而準隨機數可以隨著數據的增加不斷地迭代計算，使得結果越來越接近精確值。概率論中，準隨機數可以用來發現特徵函數和概率密度函數，以及確定性的函數在微小擾動情況下的導函數，準隨機數還可以準確快速地計算高階矩。
此外，準隨機數還可以用於：對於一些不涉及排序的統計指標，如均值、方差、偏度等；複雜的確定性函數的積分、全局最值的計算；一些局部確定性算法的起點，如Newton–Raphson迭代；以及一些搜索算法。這一數學工具的發展，推動了多元積分、蒙特卡洛方法，數值積分的運用，對金融領域之後三十年的發展起到了重大作用。
賭場中的概率論
Ed Thorp，一位美國數學教授、對衝基金經理、和21點玩家，是近代概率論的先驅。他的第一次名聲大噪是他發現了在賭場中取得21點遊戲勝利的方法，在數學上證明了算牌法可以克服賭場優勢，並寫成了一本暢銷書「Beat the Dealer」，這本書甚至使拉斯維加斯的賭場改變原有的規則。
另一方面，Thorp和ClaudeS hannon，一位信息學家，一起發明了世界的第一臺可穿戴電腦，因此也被稱為「可穿戴電腦之父」。1960年代，Thorp利用他在概率論和數理統計方面的知識尋找證券市場上的錯誤定價，建立了第一支基於純量化金融的對衝基金Princeton/Newport Partners，並因此賺取了大量財富。
期權定價
1973年，三位經濟學家Fischer Black，Myron Scholes 和Robert Merton給出了歐式期權定價的公式，此公式問世後帶來了期權市場的繁榮。該公式被廣泛使用，雖然在很多情況下被使用者進行一定的改動和修正。很多經驗測試表明這個公式足夠貼近市場價格，然而也有會出現差異的時候，如著名的「波動率的微笑」。模型的基本原理是上文所述的幾何布朗運動：
以及如下的前提假設條件：
1.金融資產價格服從對數正態分布，而金融資產收益率服從正態分布；
2.在期權有效期內，無風險利率和金融資產收益變量是恆定的；
3.市場無摩擦，即不存在稅收和交易成本；
4.金融資產在期權有效期內無紅利及其它所得（該假設後被放棄）；
5.該期權是歐式期權，即在期權到期前不可實施。
從而推導出歐式期權價格的偏微分方程：
公司債務風險
1974年，Robert Merton從看漲期權的角度來對公司價值和風險進行結構化建模，公司的債務關聯到期權的執行價格，債務的期限則對應期權的到期日。如果某一時刻期權價值為0，則說明資產價值小於債務，導致公司破產。
信用風險在90年代初迅速增加，關於這方面的理論和實踐運用也在快速擴張，這導致了一些巨大的事件的發生，比如Merton所在的長期資本管理公司的破產。目前關於信用風險的理論基於Merton的模型已經有了長足的發展，引入了事件隨機發生的泊松過程，比如破產或者違約，已有許多研究成果。
蒙特卡羅法
1977年，愛爾蘭的經濟學家Phelim Boyle通過大量地模擬基礎資產未來的收益，並取平均值，以此對期權進行定價，這就是蒙特卡羅方法，也是期權定價的第三種方法（另外兩種分別是BSM模型和二叉樹）。這種方法相對比較容易實現，並且使用靈活，在一切特定的情況下，比如股票價格發生突變，蒙特卡羅法定價具有明顯的優勢。
利率定價
70年代中期，量化金融模型已經非常普遍，但卻沒有關於利率定價的模型。有些人運用股票期權定價的公式來對利率期權進行定價，但是關於利率計算的完整框架還未建立。直到1977年，Vasicek提出的利率模型解決了這個問題。他將短期利率抽象為隨機遊走的模型，利率的價格可以用以下隨機微分方程表示：
其中Wt是在風險中性框架下的維納過程，σ表示利率的波動率
同時，Vasicek也給出了債券定價的隨機微分方程：
二叉樹模型
BSM公式通過隨機微積分的方式得到期權定價的偏微分方程，但是在當時金融從業者並不都精通數學和物理，只有極少數的人能理解這個公式；Boyle提出的蒙特卡羅模擬法是一種易於理解的方法，但是真正將期權定價推向普及的是Cox,Ross, Rubinstein這三位MBA在讀的學生，即二叉樹模型。
二叉樹期權定價模型建立在一個基本假設基礎上，即在給定的時間間隔內，證券的價格運動有兩個可能的方向：上漲或者下跌。雖然這一假設非常簡單，但由於可以把一個給定的時間段細分為更小的時間單位，因而二叉樹期權定價模型適用於處理更為複雜的期權。
假定到期且只有兩種可能，而且漲跌幅均為10%。這種假設過於粗糙，可修改為在T分為很多小的時間間隔Δt，而在每一個Δt，股票價格變化由S到Su或Sd。如果價格上漲概率為p，那麼下跌的概率為1-p，可以得到：
由BSM方程知：
可以假定市場為風險中性。即股票預期收益率μ等於無風險利率r，故有：
金融概率論
1979年，MikeHarrison 和DavidKreps，證明了期權價格和高等概率論基於離散時間的關係，而量化金融領域在這之前是完全由經濟學家和數學家主導的。1981年，Harrison和StanPliska通過同樣的思路將這一理論擴展到連續時間領域，建立了證券市場連續交易的廣義隨機過程模型。從那之後到90年代中期，應用數學家幾乎都沒有受到過多的關注。
債券定價
Vasicek利率定價模型的一個問題是並沒有給出一個很好的債券價格，因此對於固定收益相關的產品及衍生品的定價也無從談起。1986年Thomas Ho 和Sang-Bin Lee提出了無套利利率變化模型(AR Model)，這個模型以完整的期限結構作為已知條件，繼而推出期限結構的無套利機會的隨機運動，接著證明了AR模型可以用來為利率或有求償權相對於觀測到的期限結構的定價。此外，該模型還可以用來對諸多或有求償權利率進行定價，包括債券期權、可隨時償還的債券等。
HJM模型
儘管Ho和Lee展示了如何將簡單債券的理論值和市場價格匹配，但是這種方法過於複雜，不易執行。1992年，David Heath，Robert Jarrow 和Andrew Morton(HJM模型)採用了一種新的基於等鞅測度的方法，對整條收益率曲線的隨機變化進行建模，而不是只對短期利率建模然後歸納出整條收益率曲線。
最初的收益率曲線，以及簡單利率工具的值，需要作為模型的輸入。這些模型不容易用微分方程的形式表達，因此也是基於蒙特卡羅模擬的方式實現。
這個模型的創新主要體現在：
1.直接對遠期利率曲線進行隨機微積分計算；
2.不需要「反向期限結構」，以避免來自於或有求償權所帶來的市場風險；
3.它通過隨機即期利率過程的多個隨機因子，來影響期限結構。
多資產期權
對於多個資產的期權定價，每一個維度的資產也是遵循對數正態隨機遊走理論，通過多元積分得到和路徑無關的歐式期權的價值。對於此類期權的定價本質就是求積分，這種方式再高維並且正交的情況下會變得很低效，而蒙特卡羅方法可以解決這一問題。蒙特卡羅積分估計的原理很簡單：積分就是平均值乘以一個數量，是一個連續累加的過程。平均值的估計可以通過隨機數實現，時間複雜度為O(N)，精度大約可以在O(1/N1/2)，並且是和維度無關的。
60年代的時候，學者就對低偏差序列做了很多的研究，並且證明了非隨機的分布可以達到O(1/N)的精確度(維度之間可能有小的相關性)。如今，一旦需要用到隨機數，低偏差序列還是一個十分有用的工具，也普遍用在了期權定價領域。
1990年初，許多學者(Cheyette,Barrett, Moore, Wilmott等)延續了之前的成就成果，進一步對多資產期權定價問題進行研究，他們將數論的知識應用到金融領域。在他們的研究成果公開之後的幾年內，哥倫比亞大學一個不相關的組織將這些工作申請了專利。
期權動態對衝
至此，期權定價已經出現了大量的理論計算方法，也在不斷地修正和完善，但和實踐的結合始終還是不夠緊密。1996年Marco Avellaneda，Antonio Paras， Arnon Levy 和Terry Lyons取得了突破，提出期權定價不確定波動模型。
這是一個非線性的模型，看似很像BSM的微分方程，但是輸入的波動率是不同的，它是由V的凸性，也就是V對S的二階偏導數決定。
在他們的理論出現之前，期權定價的唯一結論就是價值和delta值，所謂動態對衝也只是理論上可行，而這一模型的出現使得理論向實踐又邁進了一步。另外一個重要的結論就是交易所交易期權的理論價格就是它的市場價格，這使複雜的波動率曲面模型顯得有些多餘。
BGM模型
儘管HJM利率模型解決了隨機即期利率模型及其相關的問題，但它依然有兩個主要的缺陷：模型所需的即期利率是真實存在的；它假設了遠期利率的連續分布。1997年，Alan Brace，Dariusz Gatarek 和Marek Musiela基於實際交易的離散的利率，提出了新的BGM模型。該模型只依賴於可觀測的利率：遠期LIBOR利率。同時BGM模型和BSM模型具有一致性，是後者的完善和補充。
其中：
L(t , Tn ,Tn+1)是遠期LIBOR利率
Wt是d維布朗運動，λn(t)是波動率，µt是漂移
CDO定價
1990年代初，信用衍生工具開始爆發，典型的代表是CDO；而另一方面，由於違約涉及到多個參與者，定價的模型非常複雜。寫到這兒，終於有一位在quant界產生一定影響力的華人了。
在CDO 以數以百萬計的次級住房按揭貸款構成的資產池（asset pool ）為基礎被發明出來時，人們認為最大的風險在於違約率難以計算。因為住房違約不同於其他形式的小概率事件的債務違約，房價下跌會在不同程度和不同時間影響一大批人。
購房者每月集體償還的現金量是已獲再融資的購房人的數量和因違約而未還款人的數量的函數，當然還有許多其他變量參數，因此投資不存在保證性的確定利率。過去華爾街投行們為了解決這一問題而將CDO 資產按違約可能性劃分為不同等級（tranches）的方法並不完善，評級機構對於此類債券的AAA 評級也存有很大風險。
David Li（中文名李祥林）的貢獻便是將所有的變量進行相關性的量化分析，簡單地說就是計算一下一旦一個購房人還款違約，周圍鄰居違約的可能性有多大，進一步擴展到再周圍的人。當然他真正研究對象要比這個範圍寬泛很多，這裡只是一個例子。度量相互之間關聯性及關聯性程度的高低是確定按揭貸款債務風險大小的重要部分。以下兩個公式是常用的Copula函數：
SABR模型
一直以來，對於模型的需求都是計算快速、並且接近市場價格。Deep Kumar，Andrew Lesniewski 和Diana Woodward提出了隨機波動率模型，用來描述衍生品市場的波動率微笑。SABR這個詞是stochastic， alpha， beta， rho的縮寫，代表了模型的參數。
這個模型通過逼近的方式，避免了數值計算的過程，並且可以得到很高的精度。雖然逼近的方法在金融領域中曾經使用過（比如交易成本的建模），但這是第一次在主流的量化金融領域裡面使用。