（一）
過去10 年間, 我曾寫過兩篇文章, 紀念在西南聯大求學時代的老師華羅庚先生. 現今, 2010 年11 月12 日正好是華老的100 周年誕辰, 《高等數學研究》的主編張肇熾教授約我再寫一篇紀念華老的文章, 我欣然允諾. 因為我感到還有些有關往事值得追憶, 特別是我對華老的敬業精神與學術思想等方面的深刻印象, 總感到在一兩篇文章中是不可能談透談全的.
華老大我10 歲. 大學時代我學過華老開設的兩門課程( 初等數論和近世代數) . 1945 年大學畢業後,作為他的助教, 我和華老有過較多的接觸和交談, 這就讓我有機會多次見到華老伏案研究數學的高度專心神態和獻身學術事業的安貧樂道精神.
1945 - 1946 年間, 正是抗日戰爭勝利前後不久時期, 由於貨幣貶值, 物價上漲不止, 西南聯大教職員工的生活特別清苦. 特別是華老一家七口, 全靠華老一人的工資過活, 其艱難程度可想而知. 在此種情況下, 華老仍不遺餘力地專心致志於數學工作, 除為教課準備講義外, 還經常有論文在美國發表. 有一次華老的好友徐賢修從美國寫信告訴他, 說已見到華老一年裡在美國諸刊物發表的數學作品的總頁數超過100 頁. 這表明當年華老在昆明極端艱難的生活條件下, 仍保持著數學研究工作的高效多產狀態, 也說明他對數學科研事業不辭辛苦的獻身精神. 這種精神顯然是與他對數學創新研究工作過程中不斷獲得高度樂趣有關. 所以我認為用 安貧樂道 來描述華老當年在昆明時期的精神狀態是最為貼切的.
（二）
當年西南聯大的許多教授, 大多是從歐美留學歸來的, 所以在日常講課與談話中, 往往喜歡夾雜一些英語名詞或短句. 這種說話風氣習慣, 甚至在校園師生群體生活中也都習以為常了. 華老的英文底子並不厚, 但有時也喜歡在言談中吐露英文詞句. 下述三例,留給我的印象較深.
華老的數論研究出了名, 但他曾不止一次地告訴我, 說數學界有些人士曾評論他 Hua knows nothing but theory of numbers( 華除數論外什麼也不懂) . 這在1945 - 1946 年間, 他已對 矩陣幾何完成了多篇重要論文. 所以他又對我說, 現在人們就不能再說他只懂數論了吧.
上述言談, 說明華老從中青年時代起, 就是一位在科學研究中自強不息、不斷努力、拓廣領域的數學家. 當年進一步的接觸, 還使我了解到華老是一位興趣廣泛、兼愛文史的學者. 有一次在他家中, 還聽到他吟誦王維桃源行的詩句.
1945 年, 重慶中央研究院的社會科學名家陶孟和先生曾到西南聯大訪問講學. 他曾舉了一個很不恰當的例子來說明 人們的生活享受是不可能平等的, 說什麼 譬如一家人吃雞吧, 總有人吃了雞腿,總有人吃不到雞腿云云. 一次, 華先生講完課後走近校門口時, 我就告訴他這個笑話. 他立即高聲回應說: 那是completely ridiculous. 當時恰巧經濟系的伍啟元教授正走過我們的身旁, 聽華話音剛落,
又重複了一句: completely ridiculous. ( 意指完全荒謬可笑)
此例雖小, 但能說明當年華先生對社會名流言論的是非曲直, 反應是十分銳敏的.
華先生富於聯想力的特點有時也表現在言談中.記得當年有一次我在華家一起議論到一批社會名流集體訪問延安的信息時, 我提到了大公報記者趙超構的字, 華先生立即將此人稱之為 趙Hyperstructure. 我感到耳目一新, 儘管那時我還不清楚哪些數學結構是屬於"超結構"之列.
(三）
這裡我樂於回憶的是, 華老在數學教學與科研活動的觀點態度等方面留給我的難忘印象, 主要是通過舉例來說明我記憶中的故事.
華老的故鄉是江蘇金壇縣. 1945 年秋他的一位小同鄉名叫王仁堂的聯大法科學生, 和我也相熟, 得知我已當了華的助教, 告訴我說他快畢業了, 還差幾個學分, 特託我向華老求助, 希望選修華老的近世代數課, 能弄幾個學分( 他知道華老的課程一般不用考試) . 我將此事告知華老後, 華立即嚴詞拒絕, 罵該生太無知了.
有一次我聽華先生講課中, 證明了初等數論中的拉蓋爾(Laguerre) 定理
那次下課後, 我將此想法向華先生報告後, 他立即大為不悅, 帶著教訓的口氣說, 已有了精確證明的數論定理, 還用得著借用欠精確的概率推理來推證嗎?
上述二例, 說明華先生當年對待數學教學與數學論證自有其堅守的嚴謹性精神.
由於當年我任助教時期, 自己的數學根底與學識水平還淺薄, 故還不可能參與華先生的科研工作中去, 主要只能幫他作一些校訂列印稿件等事務性工作, 有時也做些驗算等事, 但通過平時的談話以及觀看他稿件寫作形式等印象, 已能初步體會到他的科研工作具有細巧的構造性與計算性特點. 當年華先生還讓我讀了蘭道( Landau) 的少量作品, 從而又使我直觀地感覺到他的寫作風格頗有與蘭道相似之處.
華老的治學著述是從精研解析數論之時走上世界數學論壇的, 所以他除了有深厚的代數根底之外, 還有著極好的分析學功底. 當年我當助教時, 他就向我提到了 陶貝爾分析( Tauberian analysis) 的重要作用, 如對素數分布理論 的應用等. 可惜那時期我對陶貝爾定理還一無所知.
後來, 我自己慢慢成長起來, 並以分析學及函數逼近論等分支作為主攻方向, 有時還偶爾翻閱數學評論(Mathematical Reviews) 上對華老工作的簡略介紹, 再加上回想當年在昆明時期所獲得的印象, 這時才感到對華老科研活動與學術思想方面的特點能有進一步的分析和體會了.
正如我在10 年前寫的紀念文章中所述, 華老科研工作所反映的基本 價值觀 主要表現為: 重視技巧、追求簡易、尋求顯式、堅持構造和著重應用. 所以我認為在某種程度上, 他可以與德國的雅可比(Jacobi) 、克羅內克( Kronecker) 及蘭道等人的工作特點相比擬. 特別值得指出的是, 華在處理複雜計算時, 總是力求最終結果形式上的統一性與簡潔性. 這從他在數論與矩陣幾何等成果方面即可見一斑.
華老特別重視數學的工具作用, 所以他常常在言談中把重要的數學知識與有用的數學方法稱之為weapon( 武器) . 這可能與他多年鑽研數論問題的經驗有關.據所知, 華在晚年時期曾有興趣研究經濟數學( 經濟學中的數學方法) , 這顯然也與他的數學工具觀的見解有關.
從數學史上看, 大多數重視和強調 數學工具論觀點的數學家對數學基礎問題中的爭論是無大興趣的, 看來華老也不例外. 在我的記憶中, 他從未談論過對 三大數學流派——直覺主義派、公理主義派、邏輯主義派——的看法和評論. 無疑, 華老的許多科研成果, 特別是那些呈現顯式構造性的成果, 實際上是符合直覺主義者 存在即構造的觀點的.
如我們所知, 西南聯大時代的另一位傑出數學家許寶騄先生也是堅持直覺主義觀點的, 所以他曾明確表示不贊成康託爾(Cantor) 的 無限集合論和超窮數理論. 但華先生和許先生不同, 他是追隨數學主流社會的觀點的, 還是認可康託爾的基本理論成果的. 這裡有三點事實可資佐證:
一是上世紀40 年代初華搞群論討論班時, 徐賢修發現了查申豪斯( Zassenhaus) 的群論教科書中出現了錯誤, 曾發表了一篇糾正錯誤的論文. 華先生對此文大為讚賞, 而在此文中徐賢修的主要結果是利用了康託爾的 超窮歸納法才獲得證明的.
二是上世紀50 年代初, 我曾費神去研究康託爾集合論中的連續統假設難題, 而華先生對此並未表示反對或勸阻.
三是1954 年, 我有一次訪問華家時, 正好遇見北大邏輯學家沈有鼎教授也到華家, 華先生當即對我們說, 你倆正好可以討論一下超窮集合論中的選擇公理( axiom of choice) 的真偽問題. ( 當年我與沈教授的討論並無結論, 只是有一點共識, 即認為選擇公理是一條 純粹的假定, 可以認可它, 也可以拒絕它, 只是要看你對超窮形式思維真理性的信念如何. )
華先生雖不反對超窮集合論, 但自己並無興趣研究集合論. 這一點他和他的朋友愛爾特希(Erdos)就有所不同了, 後者還寫過多篇集合論方面的專題論文. 當然, 他倆有不少相似之處.華在青少年時代, 曾用功自學過克裡斯託(Chrystal) 大代數, 所以有著熟練的代數計算少年功, 就像少林派拳術家的「童子功」那樣, 這類功夫顯然是終生保持的.
記得1954 年匈牙利數學名家杜朗( Turan) 訪問北京時, 曾在一次數學座談會上談到了清代中國數學家李善蘭的一個恆等式：
事後很快華就給出了這一恆等式的證法. 這表明華老的初等數學少年功也是很堅實的.
另一例子是在我以前文章中提到的, 即在抗日戰爭勝利前一年, 華去到重慶( 當年國民政府的陪都)解決了日軍密碼的破譯問題, 也即發現日本軍部所用密碼的數學工具即麥比烏斯( Mobius) 反演公式. 這是一個含有麥比烏斯函數在整數因子集上的求和公式. 可以想見華先生早年自學數論時, 不只是從理論上掌握了它, 而且是作過實際計算的, 否則就不可能在面對一批具體數據時, 就會有著洞察其間存在麥比烏斯反演關係的本事.
有些數學界人士都樂願把華先生和印度數學奇才拉馬努金(Ramanujan) 作比較. 顯然他倆頗有相似之處. 但我認為最顯著不同之處有二: 一是前者是位
積極的「入世派」, 不僅關心政治而且樂於參與政治生活, 但後者是位不問政治的「逍遙派」. 二是後者的工作成果更具有獨特的個性化特徵, 而前者的貢獻成果是向主流靠攏的, 基本上反映主流的價值觀念.
例如, 當年解析數論中行之有效的哈代——李特爾伍德(Hardy-Littlewood) 圓法被更有效地維諾格拉道夫(Vinogradoff) 三角和方法取代後, 華先生便很快努力掌握後一方法去研究數論問題, 以及後來從矩陣幾何研究又很快發展到矩陣型 多複變函數的研究工作. 這說明華有快速緊隨數學新潮的能力和性格. 顯然, 對於獨往獨來的拉馬努金來說, 卻是有著完全不同的價值觀念和性格.
（四）
說到華先生的處世和為人, 在西南聯大時期, 我就見到他寬以待人、與人為善的事例, 而且還有著「不恥下問」的學者風範. 這裡要談的事例就是華與早期弟子鍾開萊的交往故事.
我們知道, 華曾是鐘的學術導師, 只因為鍾曾在言詞中衝撞過華, 以致關係失和而不再往來. 但當年西南聯大校園不大, 兩人常有不期而遇的機會, 據所知, 每次兩人遇見時, 華先生總是主動向鍾打招呼, 而不計前嫌. 記得當年華曾在我面
前多次提到鍾, 稱讚鍾是極有才智的人才, 只是有點childish（小孩子氣） 而已.
華先生寫作矩陣幾何數篇論文時, 在將稿件寄往美國發表前, 總是讓我把他自己列印好的初稿,送到鍾先生處, 煩請鍾幫助修改英文( 這表明華是不恥下問的) , 鍾也總是樂願幫忙. 這說明他倆後來都不計前嫌了.
有一次, 我去鍾處取稿時, 順便問起: 稿件英文究竟怎樣? 鍾說總體說來英文還不錯, 但還有個別語法差錯, 例如, 參考文獻中把一篇待發表的文獻稱之為 to be appeared 這就不通了. 事實上,appear( 出現) 是一個 不及物動詞, 沒有被動式.正如說被出現, 在中文中也是不通的.
我想, 正因為華先生出身貧寒, 並未讀過正規高中, 後來專攻數學成才, 所以難怪英文素養有「先天不足」之處. 這一點我也很有同感, 我早年讀了6 年師範學校, 進大學前只學習過半年多英文, 以致一生中總感到英文底子有「先天不足」之苦.
( 五)
最後我還要重點談談華老對我的啟發和影響, 同樣也是許寶騄老師對我的影響. 這就是我在西南聯大數學名師的治學經驗之談及啟示( 載《數學教育學
報》2002 年第3 期) 一文中說到的一段:
我曾向華、許二師學到了不怕計算和樂於計算的習慣, 十分樂於從計算中去發現規律和提煉一般性公式. 和華先生相似, 我也十分重視顯式構造, 這正好適應於我後來長期從事函數逼近論, 計算方法與組合分析研究的客觀要求.
現今我已90 歲了, 回顧在我數學生涯的數十年裡, 由於受到華、許二師對我早年的啟示, 我也常把分析計算 的正確價值觀念以及從計算中尋求規律的樂趣經驗, 努力介紹給聽課的學生們和習作論文的研究生們. 因此, 當我看到有些弟子們在他們後來的研究工作中, 往往通過精巧的分析計算獲得美好的成果時, 我總是感到特別欣慰和讚賞.
這裡我要特別提到, 1947 年華先生在美國講學期間, 曾寄送給我一本1946 年初版的維特耳( D. V. Widder) 著《拉普拉斯變換》 一書. 我對此書特別喜愛, 1949 年我去英國訪問進修期間, 就精讀了此書的主要部分, 獲益良多. 事實上, 當年及後來我撰作的數篇論文中, 此書都是主要參考文獻之一. 特別, 在我建立一對含有廣義斯特靈數偶的互逆積分變換的工作成果中, 最關鍵的一步就要用到維特耳著作中著名的泡斯脫-維特耳( Post-Widder) 表現定理. 正是華先生贈送給我的寶書, 幫助我得到了所希求的成果.因此我要特別感謝華老當年的饋贈之恩.
華老逝世已經25 年了, 作為他的一個仍然健在的老學生, 每當回想起60 多年前常能見面的日子裡,不時得到他的種種指導和啟發, 仍一如歷歷在目, 仿佛還是不久前的往事. 現今我們知道, 華老一生豐碩的科研成果和許多著作（指科學出版社推出的9卷本《華羅庚文集》和四冊《高等數學引論》，以及高教社出版的《傳奇數學家華羅庚》，見圖片）, 已在近期大量出版了, 這真是我國數學界的大幸事. 我誠摯期望並深信, 華老博大精深的學術思想、治學經驗, 教學觀點、以及對科普事業的遠見卓識等精神文化遺產, 對我國發展成為現代科技大國, 必將起到歷史性的重要推動作用.
顯然, 本文並不是一篇具有系統性題材內容的紀念文章. 為了不要和以前寫過的文章內容重複, 此文只是通過若干具體事例的回憶, 作為對華老往事的親切追念和緬懷而已. 讀者如欲了解華老一生中的許多貢獻和業績, 理應遊覽或閱讀王元著《華羅庚》 一書.這也是我喜歡推薦的一本傳記性著作.
參考文獻
[1] 王元. 《華羅庚》. 南昌: 江西教育出版社, 1999.
[2] 徐利治. 回憶我的老師華羅庚先生. 數學通報,2000(12) .
[3] 徐利治. 回憶西南聯大時代的老師許寶騄先生，收入《道德文章垂範人間: 紀念許寶騄先生百處年誕辰文集》. 北京:北京大學出版社, 2010( 第四編)
編者注：原文發表於《高等數學研究》2010年第6期，感謝《高等數學研究》授權刊登。
作者徐利治先生出生於1920年，是華羅庚先生在西南聯大時期的助教，對西南聯大的「數學三傑」有深切的認識。華羅庚曾說過：「在我的眾弟子中，徐利治的研究領域是最廣的，思想也是最活躍的．」這從本文中的描述就可以看出來。
徐利治教授有一本精彩的訪談錄，《徐利治訪談錄》（湖南教育出版社，2009年），對西南聯大數學系的情況以及他本人的數學經歷講得很細，是一本有趣的史料。另外，徐利治教授與王興華教授合著的《數學分析中的方法及例題選講》（高等教育出版社，2015年重印），也是一本不可多得的優秀分析讀物。