採樣定理的兩個直觀例子

2021-02-13 數位訊號處理輔導

點擊上面的「數位訊號處理輔導」，訂閱本微信公眾號，並點擊右上「┇」分享到朋友圈。進行數位訊號處理系列課程（信號與系統——數位訊號處理——隨機信號分析——現代數位訊號處理）輔導，鞏固基礎與進一步提高相結合。作者聯繫方式：

Email: 103282699@qq.com. 

QQ：103282699.

提倡「我為人人，人人為我」，歡迎廣大朋友提供好的資料、文章、題解和學習經驗，共同學習，共同進步。

吳鎮揚《數位訊號處理》（第三版）

高等教育出版社，2016

採樣定理的兩個直觀例子

王仕奎  重慶三峽學院

 

採樣定理同時是《信號與系統》、《數位訊號處理》和《通信原理》三門課程的共同內容, 其重要性可見一斑. 但是, 該定理的直觀理解卻不容易.

教材[1]對採樣定理的表述如下:

上面是時域採樣定理, 此外還有頻域採樣定理. 定理的證明用到較多的信號與系統專業知識.

那麼, 對採樣定理應該如何直觀理解呢?

在上課時, 我喜歡用下面這樣一個例子來類比.

有一座橋, 你用最快的速度, 也要花10分鐘才能通過該橋. 橋頭有個小房子, 裡面有一個魔法師, 魔法師每隔6分鐘探頭看一下: 如果有行人往橋的對面走, 則用魔法把行人拉回這邊; 反之, 則用魔法把行人送到對岸. 問如何過橋?

稍微動一下, 不難知道答案: 採用欺騙的手段, 走到一定時候, 估計魔法師要探頭看, 立即掉頭走, 就可以欺騙魔法師, 魔法師直接把你送到目的地.

把題目改一下: 其他都是一樣的, 但是魔法師每隔4分鐘看一下. 那麼, 就不能欺騙魔法師了, 因為你在魔法師探頭看的時候, 不會通過橋的中點, 你在橋的哪一個半段, 魔法師就把你送到哪一邊的岸邊.

和採樣定理作類比: 魔法師隔幾分鐘看一次, 相當於一次採樣, 比如採樣周期分別是6分鐘或4分鐘; 而魔法師能否正確地阻止過橋, 比作信號的恢復: 正確判斷即信號能恢復, 被騙則信號恢復產生失真. 根據採樣定理, 只要魔法師的採樣周期低於5分鐘, 那麼就不能欺騙他: 因為魔法師總是知道你在哪一個半段. 如果採樣周期高於5分鐘, 那麼就可以採用欺騙的手段過橋. 魔法師採樣頻率的一個臨界值, 即奈奎斯特頻率.

上面是採樣定理一個很直觀的類比. 如果對一個定理僅僅懂得繁瑣的數學推導, 而不能生動而直觀地理解的話, 那麼印象就不會很深. 下面我們再舉另一個直觀的例子, 說明為什麼當採樣頻率低於信號最高頻率的兩倍時, 就會產生失真.

大家看電影時, 可能都有過這樣的體驗: 汽車明明往前開, 可是看起來車輪是往後轉的, 這是為什麼呢? 這和電影的幀率(即每秒曝光次數)與車輪的轉速之間的相互關係有關.

如圖所示一個車輪, 假設順時針轉動, 其角速度為ω. 當車輪轉速較低(即ω較小時), 那麼每曝光一次, A點分別到達B、C、D等點, 這時車輪的轉動是正常的.

假設汽車速度很快, 即ω很大(如圖大約提高到15倍), 攝像機下一次曝光時, A點轉到B點, 然後依次轉到C點、D點, 等等, 由於人眼的視覺暫留, 看起來就像逆時針轉動了.

如果車輪轉得太快, 並且不是勻速的, 那麼我們就會時而看到正轉, 時而看到反轉.

車輪的旋轉相當於一個正弦信號, 而攝像機的周期曝光相當於對正弦採樣周期採樣. 滿足採樣定理時, 一定不會看到反轉的情況. 而車輪轉速足夠大時, 之所以可能正轉, 也可能反轉, 是因為發生了頻譜混疊之後, 原信號和等價摺疊頻率信號之間的不同相位關係造成的.

教材[2]第54-55頁的一個例子, 對摺疊頻率的產生有很好的說明.

採樣定理是經典數位訊號處理大廈的理論基礎. 近十幾年來, 也產生了其他的理論, 如壓縮感知, 它表明在採樣率遠低於奈奎斯特採樣頻率時, 照樣可以恢復原信號. 但是, 壓縮感知有一個前提, 就是信號的稀疏性, 這裡不多介紹了.

參考文獻

[1] 吳大正等. 信號與現行系統分析(第4版). 北京: 高等教育出版社, 2005

[2] 吳鎮揚. 數位訊號處理(第三版). 北京: 高等教育出版社, 2016

長按或掃描二維碼關注本公眾號

相關焦點

  • 數學教育:採樣定理
    該定理說明採樣頻率與信號頻譜之間的關係，是連續信號離散化的基本依據。它為採樣率建立了一個足夠的條件，該採樣率允許離散採樣序列從有限帶寬的連續時間信號中捕獲所有信息。採樣過程所應遵循的規律，又稱取樣定理、抽樣定理。採樣定理說明採樣頻率與信號頻譜之間的關係，是連續信號離散化的基本依據。
  • 採樣1:採樣定理
    導致這一現象的原因是，信號的變化速度和採樣頻率不匹配。如果採樣頻率加快，樣本值就能將這些信號區分開來。採樣頻率應該多快呢？採樣獲得的序列可以通過一個低通濾波器來恢復成原來的時間連續信號。前提是：採樣頻率大於信號帶寬的2倍。否則會發生混疊。
  • 採樣定理:溝通連續與離散信號的橋梁
    採樣定理：溝通連續與離散信號的橋梁  在討論採樣定理之前，首先給出採樣定理中涉及的基本概念，基本函數。這些基礎知識將在採樣定理中用到。1 基本概念  連續時間信號：自變量是連續可變的，且在自變量的連續值上，信號都有定義。
  • 測量小百科|重溫採樣定理(歷史故事)
    全文字數900 | 閱讀需要4分鐘關鍵詞：DSP、採樣、歷史導讀採樣定理又稱
  • 奈奎斯特採樣定理
    根據奈奎斯特採樣定理，需要數位化的模擬信號的帶寬必須被限制在採樣頻率fs的一半以下，否則將會產生混疊效應，信號將不能被完全恢復。這就從理論上要求一個理想的截頻為fs/2的低通濾波器。
  • 10 個用圖形證明數學定律的例子,直觀領略數學公式的簡潔優雅
    證明數學定律不一定非要用枯燥的數學公式，如果用能用簡單的圖形表示公式中的項目（例如某個數的平方可以用一個正方形表示，立方則可以用立方體代替），證明過程將會變得更加直觀易懂，更加簡單和優雅。以下就是幾個經典的例子。
  • 徹底理解中心極限定理——最重要的統計定理之一
    中心極限定理的準定義是：中心極限定理（CLT）指出，如果樣本量足夠大，則變量均值的採樣分布將近似於正態分布，而與該變量在總體中的分布無關。現在，讓我們假設我們從這個分布中隨機抽取20個樣本(綠點)並計算這些樣本的均值，我們得到一個值，在這個例子中是0.5，用虛線表示。讓我們把這個平均值畫在直方圖上。由於這個柱狀圖到目前為止只有一個平均值，它並沒有告訴我們任何其他信息（左圖）。繼續從相同的分布中提取更多的隨機樣本，計算各自的平均值並將這些平均值繪製在直方圖上，我們開始得到一個有趣的結果。
  • 採樣頻率、採樣點數、頻率解析度
    那麼選擇DFT時N參數要注意：1）由採樣定理：fs>=2fh，2）頻率解析度：f0=fs/N，所以一般情況給定了fh和f0時也就限制了N範圍：N>=fs/f0。解釋二：頻率解析度也可以理解為某一個算法（比如功率譜估計方法）將原信號中的兩個靠得很近的譜峰依然能保持分開的能力。這是用來比較和檢驗不同算法性能好壞的指標。
  • 奈奎斯特採樣定理以及混疊幹擾產生原因和消除方法
    奈奎斯特低通抽樣定理是模擬信號數位化的基礎，是《信號與系統》、《數位訊號處理》和《通信原理》都要重點講解的關鍵內容，深刻理解該定理對於電子通信專業的學生非常重要。奈奎斯特在和同事討論問題奈奎斯特採樣定理：要使實信號採樣後能夠不失真還原，採樣頻率必須大於信號最高頻率的兩倍。
  • 細說模擬信號採樣與AD轉換
    1 著名的Nyquist採樣定理本文引用地址：http://www.eepw.com.cn/article/281872.htm　　儘管大家都知道，但還是提一提。　　2 模數轉換　　記得有一次參加中科院計算所的實習筆試，裡面就有這麼一道題：模擬信號轉換到數位訊號要經歷哪兩個步驟?還好，早有準備，立刻填上了採樣和量化。我們下面就來詳細分析下這兩個過程，但在分析之前，我們先給出一張整個過程的流圖，您可以先想想為什麼需要各模塊。
  • 經驗分享 | 模數採樣知多少
    而一個產品要與外界物理環境打交道，一個至關重要的觸角就是採樣真實模擬世界的信號，翻譯成晶片可理解的數位訊號，進而實現很多為人服務的應用產品。那麼提到採樣，ADC技術你繞不開，今天總結分享一下ADC的點點滴滴。
  • 這個例子讓你精通貝葉斯定理
    全文共2450字，預計學習時長5分鐘貝葉斯定理可能是數理統計與概率論領域最重要的定理。因此，該定理經常應用於數據科學領域。本文將通過實際問題對貝葉斯定理進行直觀推導。例如，在金融領域，貝葉斯定理可用於評估向潛在借款人提供貸款的風險。在醫學領域，該定理可根據人們患病的可能性與測試的一般準確性來確定醫學測試結果的準確性。
  • 物理學家與兩個質數定理 當阿熱遇見賽先生
    對兩個質數定理的證明，是一個展現群論與數論之間美妙的相互關係的好例子。這個證明是一個很好的例子，展現了群論與數論之間美妙的相互關係。這兒說個經典的笑話。一位工程師、一位物理學家和一位數學家第一次遊覽紐西蘭。他們在火車上望見窗外一隻黑色的羊。工程師驚嘆：「紐西蘭的羊是黑色的。」 物理學家卻說：「你還不能這麼認為。如果等會兒看見另外一兩隻羊也都是黑色的，那麼我們才可以比較肯定地猜測，紐西蘭所有的羊都是黑色的。」
  • 一億像素的意義:聊聊圖像採樣與重建
    小米MIX4將會採用三星1.08億像素傳感器的新聞大家應該都聽說了，一時間大家都開始討論小尺寸傳感器高像素是否有意義，那麼回歸本源來看，像素的作用就是對鏡頭傳遞的空間信息進行採樣，像素數就是採樣樣本數，它與灰度級，也就是模數轉換位數共同決定了數字圖像的質量，直觀上不難理解：樣本越多、灰度級越大，圖像質量越好，這也是廣義上「像素即正義」的根本。
  • Audio ABC | CD為何是44.1KHz採樣率?
    圖片來自網絡）音頻信號的採樣因為聲音本質上是一個連續的模擬信號，當聲音被記錄下來，尤其是數位化記錄時，就涉及到採樣率和採樣精度這兩個概念。工科的朋友們可能對奈奎斯特採樣定理比較熟悉，就是對聲音信號做採樣時，採樣頻率一定要大於聲音信號最高頻率的兩倍。
  • Stellaris系列微控制器的ADC過採樣技術(一)
    這被稱作奈奎斯特採樣定理（Nyquist Theorem）（見等式1）。等式1 奈奎斯特採樣定理： fS＝2fH>採樣率並不象常規平均那樣減小為原來的1/n），這樣它可理想地用於要求過採樣和更高採樣率的應用中。
  • 最重要的統計定理:詳解強大的中心極限定理
    圖源：unsplash中心極限定理（CLT）是指，給定足夠大的樣本量，無論變量在總體中的分布如何，變量均值的抽樣分布都將近似於正態分布。這是統計學中的一個基本定理，也是最重要的統計定理之一，是學習統計學繞不過的坎兒。不過好在這個概念實際上不難理解，看過下面這些例子，你也會覺得它其實蠻簡單的。這些例子從反方面著手，我們很容易就能清楚地理解CLT了。
  • 香農定理 與 奈奎斯特定理 例題分析
    奈奎斯特定理與香農定理作為物理層為數不多、能出計算題的知識點，會時常被出題老師拿來小考一下。
  • 數學的鑰匙:二項式定理,從初等數學通往高等數學領域
    數學的鑰匙：二項式定理，從初等數學通往高等數學領域二項式定理就是（a+b)^n,其展開有各項，即a^m*b^(n-m),各有其係數，稱為二項式係數。所以這是個組合的概念，組合可以理解為拿兩個籃子去藍。一個籃子藍到m個，一個籃子藍到n-m個，那不同的藍法就是C(n,m)。所以（a+b)^n，理解為用兩個籃子去藍，而（a+b+c)^n,就是用三個籃子去藍。而且可以分步驟藍，先用兩個籃子，再將其中一個籃子換做兩個籃子藍。
  • 用勾股定理拯救鯨魚!謝謝畢達哥拉斯
    這就是畢達哥拉斯關於直角三角形的古老定理:這個定理的簡單應用可以拯救鯨魚！我們先來說下畢達哥拉斯定理和證明！古老的定理畢達哥拉斯定理說，給定一個如下所示的直角三角形，面積C等於a+b。這個定理是以古希臘數學家畢達哥拉斯的名字命名的。