第四章 三角函數、三角形
第一節 任意角、弧度制及任意角的三角函數
Ⅰ、考情分析
一、考綱考情：
1.了解任意角、弧度制的概念，能正確進行弧度與角度的互化．
2．會判斷三角函數值的符號．
3．理解任意角三角函數(正弦、餘弦、正切)的定義.
二、核心素養形成：邏輯推理，數學運算.
三、考查角度：主要通過三角函數定義考查邏輯推理與數學運算能力.
Ⅱ、基礎知識梳理
1．角的概念及推廣
(1)定義：角可以看成平面內一條射線繞著端點從一個位置旋轉到另一個位置所成的圖形．
(2)分類：➀按旋轉方向不同分為正角、負角、零角；➁按終邊位置不同分為象限角和軸線角.
(3)終邊相同的角：所有與角α終邊相同的角，連同角α在內，可構成一個集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．
2．弧度制的定義和公式
(1)定義：把長度等於半徑長的弧所對的圓心角叫作1弧度的角，弧度記作rad.
(2)公式
角α的弧度數公式
|α|＝l/r(l表示弧長)
角度與弧度的換算
①1°＝π/180rad；
②1rad＝(180/π)°
弧長公式
l＝|α|r
扇形面積公式
S＝lr/2＝|α|r2/2
3.任意角的三角函數
三角函數
正 弦
餘 弦
正 切
定 義
設α是一個任意角，它的終邊與單位圓交於點P(x，y)，那麼
y叫作α的正弦，記作sin α
x叫作α的餘弦，記作cos α
y/x叫作α的正切，記作tan α
各象限符號
一
＋
＋
＋
二
＋
－
－
三
－
－
＋
四
－
＋
－
三角函
數線
有向線段MP為正弦線
有向線段OM為餘弦線
有向線段AT為正切線
Ⅲ、小題診斷
1．集合{α|kπ＋π/4≤α≤kπ＋π/2，k∈Z}中的角的終邊所在的範圍(陰影部分)是() 答案：C
2．若角α的終邊在直線y＝－x上，則角α的取值集合為()
A．{α|α＝k·360°－45°，k∈Z} B．{α|α＝k·2π＋3π/4，k∈Z}
C．{α|α＝k·π＋π/4，k∈Z} D．{α|α＝k·π－π/4，k∈Z}答案：D
3.如圖所示，在直角坐標系xOy中，射線OP交單位圓O於點P，若∠AOP＝θ，則點P的坐標是()答案：A
A．(cos θ，sin θ)B．(－cos θ，sin θ)
C．(sin θ，cos θ) D．(－sin θ，cos θ)
4．已知角α的終邊過點P(－1,2)，則sin α＝()
A.51/2/5B.2×51/2/5 C．－51/2/5 D．－2×51/2/5 答案：B
5．若角θ同時滿足sin θ<0且tan θ<0，則角θ的終邊一定位於()
A．第一象限 B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：D
6．已知扇形的圓心角為60°，其弧長為2π，則此扇形的面積為__．
答案：6π
【易錯通關】
1．注意易混概念的區別：象限角、銳角、小於90°的角是概念不同的三類角．第一類是象限角，第二、第三類是區間角．
2．角度制與弧度制可利用180°＝π rad進行互化，在同一個式子中，採用的度量制度必須一致，不可混用．
3．已知三角函數值的符號確定角的終邊位置不要遺漏終邊在坐標軸上的情況．
4．三角函數的定義中，當P(x，y)是單位圓上的點時有sinα＝y，cosα＝x，tan α＝y/x；但若不是單位圓時，如圓的半徑為r(或角α的終邊上一點P(x，y))則sinα＝y/r，cosα＝x/r，tanα＝y/x(其中r＝(x2＋y2)1/2).
Ⅳ、小題糾偏
1．給出下列命題：
①第二象限角大於第一象限角；
②三角形的內角是第一象限角或第二象限角；
③不論是用角度制還是用弧度制度量一個角，它們與扇形的半徑的大小無關；④若 sin α＝sin β，則α與β的終邊相同；
⑤若cos θ<0，則θ是第二或第三象限的角．其中正確命題的個數是()
A．1 B．2C．3D．4答案：A
2.角α的終邊在直線3x＋4y＝0上，則sin α＋cos α＝____. 答案：±1/5