高中必修四《任意角的三角函數》教學設計(第一課時)

作者：易珊 佛山市順德區國華紀念中學

責編：龍宇

審核：王常斌

        本節課是《人教A版必修四》的第一章第二節，這是一堂關於任意角的三角函數的概念課。三角函數的定義建立在初中對銳角三角函數的定義以及剛學過的「角的概念的推廣」的基礎上，是本章最基本的概念，對本章內容的整體學習至關重要，是其它所有知識的出發點，起著承前啟後的作用。緊緊扣住三角函數定義，可以自然地導出本章的很多內容：三角函數線、同角三角函數基本關係、誘導公式、定義域、值域及圖像等。同時，三角函數作為描述周期變化現象的最常見、最基本的數學模型，不僅在高中數學中有廣泛的應用，而且在其他領域中也具有廣泛的應用。任意角的三角函數是研究一個實數集（角的弧度數構成的集合）到另一個實數集（角的終邊與單位圓交點的坐標或其比值構成的集合）的對應關係，認識它需要藉助單位圓、角的終邊以及二者的交點這些幾何圖形的直觀幫助，體現了數形結合的思想,數學抽象、直觀想像等數學核心素養。

        在初中，學生已學過銳角三角函數，知道直角三角形中銳角的三角函數等於相應邊長的比值，因此本課的內容對於學生來說，有比較厚實的基礎，從這個角度說，新課的引入會比較容易和順暢。但由於角的概念推廣了，原先熟悉的銳角三角函數的定義也要推廣到任意角，學生理解起來可能會存在困難。

根據本節教材特點，結合學生已有的認知水平，制定本節如下的教學與評價目標：

1.通過體驗三角函數概念的產生、發展過程，積累從特殊到一般的基本活動經驗，養成在日常生活和實踐中一般性思考問題的習慣，培養學生數學抽象素養；

2.通過對三角函數值的誘導公式(一)的推導，利用終邊與單位圓的交點坐標求三角函數值、判斷並歸納各個象限角的三角函數值符號，培養學生分析、探究、解決問題的能力，培養學生的邏輯推理素養;

3.藉助單位圓理解任意角的三角函數，藉助單位圓從任意角三角函數的定義認識其定義域和值域、各象限角函數值的符號以及推出誘導公式(一)，體會應用數形結合思想解決數學問題的過程，培養學生觀察發現、抽象概括及分析解決問題的能力，發展學生直觀想像素養；

4.通過運用所學知識解決實際問題，培養學生解決問題的能力，培養學生的數學建模和數學運算等核心素養。

     教學重點：任意角的正弦、餘弦、正切的定義的由來、理解，及運用定義歸納得出各象限角的三角函數值符號、特殊角的三角函數值和誘導公式一。

     教學難點：用角的終邊上的點的坐標來刻畫任意角的正弦、餘弦、正切；定義的理解及應用。

        在教學過程中，不僅要使學生「知其然」還要使學生「知其所以然」。考慮到學生的現狀，本節課我主要採取問題導學、自主探究式、合作交流式等教學方式，「溫故知新，逐步拓展」的形式讓學生真正參與到教學，讓學生經歷從已學的銳角三角函數逐步探索、抽象出任意角的三角函數定義，教師以引導者、合作者的角色啟發引導學生主動參與、揭示本質、經歷過程、收穫成果。

（一）複習回顧                                                                                  

問題2：本章第一節是如何將角的概念推廣到任意角，象限角和軸線角怎樣定義的？

生2：將角放在直角坐標系內，使角的頂點與原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合，那麼，角的終邊在第幾象限，我們就說這個角是第幾象限角，如果角的終邊落在坐標軸上，則說這個角是軸線角。

師生活動：師生對話，學生個別回答。

設計意圖：通過學生對銳角的三角函數和任意角、象限角概念的回顧，為後面在直角坐標系內探索任意角的三角函數作了鋪墊，是一種推廣和拓展的過程.溫故知新，讓學生體會知識的產生、發展過程。

（二）構建新知

師生活動：師生對話，學生思考、交流、討論，回答老師提出的問題。

設計意圖：通過5個環環相扣的問題，讓學生產生認知衝突，將學生的思維引向自主探索的「再創造」過程。初中以直角三角形邊角關係來定義銳角三角函數，現在要用坐標系來研究，探索的結論既要滿足任意角的情形，又要包容初中銳角三角函數定義.體現了學生構建知識的能力，也是數學發現的重要思想和方法，為學生在以後學習中對某些知識進行推廣拓展奠定了基礎.

（三）理解概念

師生活動：教師引導學生思考函數的自變量、對應關係、函數值分別是什麼？引導學生研究新函數的三要素，引導學生通過理解定義和觀察圖像思考問題。這兩個問題的回答學生需要時間思考和小範圍的交流討論，教師適時點撥。

設計意圖：緊扣「函數」的定義，通過對「函數值與自變量」的對應關係、定義域、值域的分析，深化對定義的理解，滲透數形結合思想。

（四）例題解析

師生活動：學生先做，學生回答，教師引導學生歸納

設計意圖：通過例1和變式1，進一步加深對定義的理解，體會數形結合思想，通過例1和變式2，引導學生發現終邊相同的角三角函數值之間的關係。通過變式3逆用定義解題，進一步加深對定義的理解和誘導公式通（一）

歸納：誘導公式一：

練習：完成下表：

角α

0°

30°

45°

60°

90°

180°

270°

360°

α的弧度數

（五）課堂小結

師生活動：教師問：本節課你都學到了什麼？先由學生歸納總結，教師在學生總結的基礎上進行再概括，注意思想方法的歸納

知識方面小結：三角函數的定義及其應用；三角函數的自變量、函數值、對應關係的理解；各個象限的角的三角函數值；特殊角的三角函數值；誘導公式（一）

思想方法：數形結合思想；特殊到一般思想

設計意圖：對學習過程進行反思，對思想方法進行總結。

本節課教學目標符合新課程標準要求，符合學生實際，整個教學過程圍繞教學目標來展開；採用啟發式教學，引導學生經歷概念發生、發展的過程；因為所教授學生基礎好，接受能力強，所以本節課設計容量較大，節奏較快，學生積極性高，課堂氣氛活躍，從例題和練習題的完成情況看，學生能很好的掌握本節課知識，從這可以看出，本節課教學目標完成，教學效果良好。

【來源】《順德數學家園》公眾號。

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