數學分析學習方法
數學分析是基礎課、基礎課學不好，不可能學好其他專業課。工欲善其事， 必先利其器。這門課就是器。學好它對計算科學專業的學生都是極為重要的。這 裡，就學好這門課的學習方法提一點建議供同學們參考。
1.提高學習數學的興趣 首先要有學習數學的興趣。兩千多年前的孔子就說過：「知之者不如好之者， 好之者不如樂之者。」這裡的「好」與「樂」就是願意學、喜歡學，就是學習興 趣，世界知名的偉大科學家、相對論學說的創立者愛因斯坦也說過：「在學校裡 和生活中，工作的最重要動機是工作中的樂趣。」學習的樂趣是學習的主動性和 積極性，我們經常看到一些同學，為了弄清一個數學概念長時間埋頭閱讀和思考；為了解答一道數學習題而廢寢忘食。這首先是因為他們對數學學習和研究感興趣， 很難想像，對數學毫無興趣，見了數學題就頭痛的人能夠學好數學，要培養學習 數學的興趣首先要認識學習數學的重要性，數學被稱為科學的皇后，它是學習科 學知識和應用科學知識必須的工具。可以說，沒有數學，也就不可能學好其他學 科；其次必須有鑽研的精神，有非學好不可的韌勁，在深入鑽研的過程中，就可 以領略到數學的奧妙，體會到學習數學獲取成功的喜悅。長久下去，自然會對數 學產生濃厚的興趣，並激發出學好數學的高度自覺性和積極性。用興趣推動學習， 而不是用任務觀點強迫自己被動地學習數學。
2.知難而進，迂迴式學習 首先要培養學習數學分析的興趣和積極性，還要不怕挫折，有勇氣面對遇到 的困難，有毅力堅持繼續學習，這一點在剛開始進入大學學習數學分析時尤為重 要。中學數學和大學數學，由於理論體系的截然不同，使得同學們會在學習該課 程開始階段遇到不小的麻煩，這時就一定得堅持住，能夠知難而進，繼續跟隨老 師學習。第 1 頁 共 10 頁學習數學分析時要注意數學分析和高等數學要求不同的地方，否則你學習數 學分析就與高等數學沒有什麼區別了；而且高等數學強調的是計算能力,數學分析 強調的是分析的能力,分析的能力沒有學到,就談不上學好了數學分析。學好數學 分析課程還有一個重要的原因是新生們體會不到的，數學分析的知識結構系統性 和連續性很強，這些知識學得不紮實，肯定要影響後面知識的學習。同時將來考 碩士，還是要考這門課程。如果大學第一年不把這門課程學好，將來可就難了。剛開始學習數學分析，會感覺很暈。對於老師所講的知識，雖然表面上能聽懂， 但卻不明白知識背後的真正原因，所以總是感覺學到的東西不實在。至於做題就 更差勁了，課後習題都沒幾個會做的。其實感覺暈是很正常的，而且還得要暈上 幾個月才可能就會好的。所以要硬著頭皮跟著老師學了下來。雖然感覺還是不太 懂，雖然做作業仍然感覺很費勁，但始終不要放棄，這種狀態是學習數學分析的 一個必經之路，因此必須克服這個困難才能學好數學分析理論知識。除了要堅持外，還要注意不要在某些問題的解決上花費過多的時間。因為數 學分析理論十分嚴謹，教科書在講解初步知識時，有時會不可避免地用到一些以 後才能學到的理論思想，因而在初步學習時就對著這種問題不放是十分不划算的。比如說，在「數學分析」一開始學習實數系的確界存在基本定理時，由於當時根 本沒什麼基礎，所以對於「引入這個定理的目的是什麼？」這個問題怎麼想也想 不通，甚至覺得這個定理沒有什麼實質的意義。但到後來學到了多元部分的數學 分析，以及專業課「實變函數」時，才開始慢慢理解它的真正目的。這裡之所以 要說明是實數系有確界存在的性質，即相當於有一種連續的性質，目的就是為了 後面的極限和連續做鋪墊的，因為只有在自變量能夠連續變化的時候，考慮因變 量的相應變化才有意義，進而才能研究函數的性質。但是如果沒有學到後面，只 了解區間而不知其它一些怪異的點集時是很難想通這個問題的。所以，在開始學習數學分析時，可以考慮採取迂迴的學習方式。先把那些一 時難以想通的問題記下，轉而繼續學習後續知識，然後不時地回頭複習，在複習 時由於後面知識的積累就可能會想通以前遺留的問題，進而又能促進後面知識的 深刻理解。這種迂迴式的學習方法，使得溫故不但能知新，而且還能更好地知故。第 2 頁 共 10 頁但是，也並不是說在初學時就不去思考任何問題。相反，勤於思考是學好數 學必備的好習慣，「數學是思維的體操」，只有堅持思考才能掌握它的理論體系 和邏輯關係。因此，應該在學習時掌握尺度，既要保證有充分的思考，但同時又 不能過於鑽牛角尖。
3.了解背景，理論式學習 數學分析與中學數學明顯的一個差異就在於數學分析強調數學的基礎理論體 系，而中學數學則是注重計算與解題。針對這個特點，學習數學分析就應該注重 建立自己的數學理論知識框架。要學習理論體系，首先就應該知道為什麼要建立這種理論，它的作用是什麼， 這就要了解數學的歷史背景知識。比如「數學分析」在一開始就強調對 -N 語言 的掌握，而它的產生則是由於數學史上的「第二次數學危機」引起的。眾所周知， Newton 創立的微積分，雖然在其應用方面取得了巨大的成就，但微積分在那時的 理論基礎是相當混亂的。Newton 在求導數時先將無窮小量看成非零數作為分母， 後來又將其視做零而捨去，因此這就導致了邏輯上的錯誤。為了給微積分奠定正 確而堅實的基礎，大數學家威爾斯特拉森在 Cauchy 的基礎上提出了用 -N 語言的 方法來推出極限和導數的概念。藉助 -N 語言，可以十分清晰地展示出函數取極 限的過程，而且在邏輯上也非常清楚嚴謹。這樣，當了解了這些歷史背景知識之 後，就覺得學習 -N 語言是很必要的，學起來也就自然得多了。除了了解背景幫 助我們學習理論知識外，還要下苦功夫去學習。在接觸了這些陌生的數學理論一 段時間後，可能覺得看起來已經懂了，但其實自己不一定能真正掌握，尤其是那 些證明中內含的邏輯關係最容易出錯。所以在學習時，應該適當地記憶理論知識， 有時還應該默寫定理，只有通過默寫才能發現自己在理論上的漏洞，才能培養出 自己嚴密的理論、邏輯能力，這對以後的學習都是很有幫助的。
4.把握三個環節，提高學習效率
(1)課前預習 適當的預習是必要的，了解老師即將講什麼內容，相應地複習與之相關內容。如果時間不多，你可以瀏覽一下教師將要講的主要內容，獲得一個大概的印象， 這可以在一定程度上幫助你在課堂上跟上教師的思路，如果時間比較充裕，除了 第 3 頁 共 10 頁瀏覽之外，還可以進一步細緻地閱讀部分內容，並且準備好問題，看一下自己的 理解與教師講解的有什麼區別，有哪些問題需要與教師討論。如果能夠做到這些， 那麼你的學習就會變得比較主動、深入，會取得比較好的效果。
(2)認真上課 注意老師的講解方法和思路，其分析問題和解決問題的過程，記好課堂筆記， 聽課是一個全身心投入——聽、記、思相結合的過程。教師在有限的課堂教學時 間中，只能講思路，講重點，講難點。不要指望教師對所有知識都講透，要學會 自學，在自學中培養學習能力和創造能力。所以要努力擺脫對於教師和對於課堂 的完全依賴心理。當然也不是完全不要老師，不上課。老師能在課堂教學把主要 思路，重點與難點交代清楚，從而使你自學起來條理清楚，有的放矢。對於教師 在課堂上講的知識，最重要的是獲得整體的認識，而不拘泥於每個細節是否清楚。學生在課堂上聽課時，也應當把主要精力集中在教師的證明思路和對於難點的分 析上。如果有某些細節沒有聽明白，不要影響你繼續聽其它內容。只要掌握了主 要思路，即使某些細節沒有聽清楚，也沒有關係。你自己完全能夠在這個思路的 引導下將全部細節補足，最後推出結論。應當在學習的各個環節培養自己的主動 精神和自學能力，擺脫對教師與課堂的過分依賴。這不僅是今天學習的需要，而 且是培養創造能力的需要。
(3)課後複習 複習不是簡單的重複，應當用自己的表達方式再現所學的知識，例如對某個 定理的複習，不是再讀一遍書或課堂筆記，而是離開書本和筆記，回憶有關內容， 不清楚之處再對照教材或筆記。另外，複習時的思路不應當教師講課或者教科書 的翻版，一個可供參考的方法是採用倒敘式。從定理的結論倒推，為了得到定理 的結論，是怎樣進行推理的，定理的條件用在何處。這樣倒置思維方式，更加接 近這個定理的發現的思路，是一種創造性的思維活動。
5.掌握方法，全面式學習
(1)概念的學習方法是：① 閱讀概念，記住名稱或符號；②背誦定義，掌握 特性；③舉出正反實例，體會概念反映的範圍；④進行練習，準確地判斷；⑤與 其它概念進行比較，弄清概念間的關係。(2)公式的學習方法是：①書寫公式，記住公式中字母問的關係；② 懂得公 式的來龍去脈，了解推導過程；③驗算公式，在公式具體化過程中體會公式中反 映的規律；④將公式進行各種變換，了解其不同的變化形式。(3)定理的學習方法是：①背誦定理；②分清定理的條件和結論；③ 了解定 理的證明過程；④ 應用定理證明有關問題；⑤ 體會定理與逆否定理、逆命題的 聯繫。有的定理包含公式，如中值定理、定理，它們的學習還應該同公式的學習 方法結合起來進行。
6.數學分析解題方法 在學習數學分析過程中，更多的困難來自於習題。首先，大家要重視基本概念和基本原理的理解和掌握，不要一頭扎進題海中 去。上面已經提及，提高解題能力重要途徑之一是掌握好基本概念和基本方法。另一方面，因為數學分析題型變化多樣，解題技巧豐富多彩，許多類型的題目並 不是只要掌握好基本概念和基本方法就會作的。需要看一些例題，或者需要教師 的指點。不要因為某些題目一時找不到思路而失去信心。至於如何解題，很難總結出幾個適用於所有題目的通用的方法。怎樣提高自 己的解題能力？除了天生的智力因素之外，解題能力首先取決於基本概念和基本 原理的理解與掌握程度。所以，多下功夫掌握基本概念和基本原理，儘可能地多 做題目，在記憶的基礎上理解，在完成作業中深化，在比較中構築知識結構的框 架，是提高解題能力的重要途徑。另外，做題要善於總結，特別是從不同的題目 中提煉出一些有代表性的思想方法。下面是數學分析課程中部分內容的一些解題方法。(1)數列的極限 重點：了解定義，即證明方法。特別是 Cauchy 收斂準則。學會反證法的表述 法。解法：a.利用壓縮映像或者數學歸納法及放縮法的到極限存在。然後，假設極限等 於 c，解出 c 的具體的值。b.有時可以直接解出數列的通項公式，然後帶入求得極限。c.Stolz 公式。(2)求函數的極限 重點：同 1）的重點 解法：a.對於一元的情況比較簡單，注意應用極限性質時的條件要求。b.對於多元的時候，先處理一個未知數，再處理第二個。不斷利用放縮法。或者換元。c.具體要了解上下極限、上下確界的含義。注意，極限存在也是一個條件， 且這個條件是很強的。(3)函數的連續性 重點：了解定義，和基本證明的方法。了解什麼是一致連續性. 解法：a.證明 f(x)和 g(x)有交點的題目，如果是連續的，可以用介值定理，否則可 以用實數系的定理來證明。b.有些題目證明 f(x)符合某些性質，可以先證明整數、再證明有理數。最後 利用連續性來證明所有的實數滿足條件. c.了解什麼是一致連續，能舉得出連續但不是一致連續的各種函數圖像的例 子，對於解題時很有幫助的 (4)導數和微分 重點：會求導的各種技巧，並了解定義求導數的方法。了解可導和連續的關 系。解法：a.一元微分是十分簡單的。二元以上的微分，要用鏈式求導，可能會很繁瑣， 但要做到滴水不漏。另外，學會換元的方法。b.對於求最值的題目，首先試試初等方法，不行就用 Lagrange 乘子法。c.熟練掌握三種中值定理。遇到證明不等式，就想辦法往這三個中值定理靠， 構造輔助函數。實在不行，就構造 f(x)=左邊,g(x)=右邊。證明 f(x)-g(x)遞增或 第 6 頁 共 10 頁者遞減，然後再取邊界的情況討論一下。d.熟練掌握 L』Hospital 法則，注意它和 Cauchy 中值定理的聯繫。注意它的 條件必須要導函數連續。c.有些題目可以不用 L』Hospital，直接用 Taylor 級數 代餘項的展開。可能更為簡潔。(5)積分 重點：熟練不定積分。和多元微積分的各種方法。了解積分中值定理. 解法：a.一元微積分比較簡單。多元微積分，強調技巧。熟練掌握包括換元、 Green （Stokes）定理、Gauss 公式。並且注意，使用他們要求有閉曲線，或者封閉曲面。如果沒有封閉的面記得要補上那部分. b.含參變量的積分，掌握萊布尼茲求導公式，剩下的就是求導的各種技巧了。<1>I(a)=f(a); <2>I』(a)=f(a)I(a) <3>題目裡面沒有要求求出函數解析式，只 要求一些特殊的值。找到 I(x0),I』(x0) 的關係，同<2> 具體參見試題。c.積分不等式：積分中值定理或者利用求導的方法證明，基本同前面的導數 的情況。d.學會利用級數展開的方法求積分，並了解一些特殊的定積分的值。e.了解絕對收斂和相對收斂的區別。(6)一致連續和一致收斂 重點：充分了解一致收斂的含義。解法：a.大部分題目會和積分或者求和聯繫起來，首先證明（內閉）一致收斂，然 後用定義證明，將積分區間分成兩部分，分別趨近於不同的極限. b.證明函數組一致收斂：AD 判別法（注意還有關於積分的 AD 判別法，參見陳 傳璋的版本，歸根到底就是 Abel 求和公式和分部積分法），或者按照定義作。可 能要分成幾個區間，注意這一點，此時是證明對於任意的 e，在這幾個區間中尋找 最小的 d，使得差小於 e。而不是證明分別在這幾個區間中，一致收斂。c.證明函數組不是一致收斂的。得到一個數列{xn}，如果 fn(xn)不趨近於 f(x) 的話就不是一致收斂的。d.逐項求導和逐項積分要求一致收斂（內閉一致收斂也可以）。由於積分和求 導都是極限的運算，這就是所謂的極限互相穿越的意思。掌握一定量的題型，對於一些題目，直接知道用什麼方法做。有些題目沒有 頭緒的時候，可先嘗試找反例，然後想想為什麼反例不成功，從中可以的得到不 少的啟發。還有要充分了解函數的各種性質。做題的時候腦子裡要有函數圖像。另外，充分了解定義，特別是一致收斂。了解為什麼有時候一致收斂才有題目的 結論，如果條件收斂，是不是也有這樣的條件。多想幾次就有了深刻的了解。遇 到不清楚的地方趕快看書，多看幾遍書對於理解題目是非常有用的。再有，盡可 能多地參考一些書籍會使你開闊眼界，增長知識，加深理解。每個人有不同的風 格。不同的切入角度，會使你有時候讀一些問題豁然開朗。
7.學會利用參考書 儘可能多地參考一些書籍會使你開闊眼界，增長知識，加深理解。每個作者 有不同的風格，不同的切入角度，學會利用參考書會使你對一些問題豁然開朗。看參考書有兩種方式，其一是通讀某一本書，不過大家往往沒有太多的時間 去通讀教材之外的書。所以我建議大家採用第二種方法：以問題為中心，有選擇 地讀參考書，具體地說就是：如果你對數學分析中的某一部分，或者某個問題有 興趣，希望多了解一些，作比較深入的研究，那麼可以查閱幾本書，看一看其他 書上對這個問題是怎樣論述的，在學習的基礎上，自己可以做一個小結，在是自 學的重要方式。好的輔導書對於幫助自己學習數學分析也是有用的，但是使用輔 導書要注意方法，不要僅僅停留於逐個地看例題，看得懂不等於會做，想到思路 不等於做得完全正確。如果你想扎紮實實地提高解題能力，就要認真地、獨立地 解題，通過自己動腦動手體會解題的思路、方法和技巧。最後，就是平時沒有事的時候多想想，想想一些定理，自己想不同的方法證 明。想想如果沒有其中的某些條件，定理是否仍然成立。總之，掌握了一定方法，再加上自己的努力，必能學好數學分析這門課，為 後繼課程的學習打下紮實的基礎。數學分析學習心得
一、數學分析內容簡介 數學分析內容有實數集與函數、數列極限函數極限、函數連續性、導數、微 分等。書中內容大都以證明為主，計算部分較少。
二、課前預習 課本中每節的內容構架都是相似的，大都為引言、定理、定理的證明、例題、 課後習題。了解了構架。那麼我們就應該預習重點部分，在時間充足的的情況下， 再看其他未看內容。引言，不重要，可以瀏覽一下，也可以不看；定理，是核心的內容，不僅看 而且要詳細的記住它，所謂詳細的記住是指：把定理的條件不要記錯，這個對證 明很有用；接下來是證明，證明影響你對定理的理解程度和運用的熟練程度。可 先了解證明思路證明中的計算可以忽略，這樣在老師的講解下就可以明白；最後 是例題和習題，例題是對定理最簡單最貼切的應用，所以課前掌握最好，習題可 看可不看。
三、記錄筆記 在緊張的課堂學習中，要記好自己的筆記讓它清晰工整是不容易的。因為你 還在用心聽老師講課，所以要有方法。首先，學會省略。減輕課堂負擔，在課後補充。比如：定理，你可以把定理 的內容在課本上畫下來，在筆記中留出空白。用這段時間理解並記憶定理。計算 也可以省略，留到課下自己計算。其次，學會縮寫。在數學分析中，有很多符號語言，比如：∑（加和）∞（無 窮大）∵（因為）th(定理)等。最後，抓住重點記錄。重點可以分為兩部分：一部分是老師上課所說的重點 部分，那一定是精華，所以不要錯過；另一部分是自己不懂或難懂的部分，記錄 下來，課下反覆思考，複習。
四、課後複習 課後複習要從兩方面出發：一方面是老師要求掌握的內容，這些內容是考試內容，對期末複習打下良好 的基礎。另一方面是自己難以掌握的內容，這些內容是最容易忘記的也是應用熟練程 度最差的。所以也要作為重點複習。複習要有一定的周期性，不能本周看了，之後就讓它冬眠，這樣大腦會一片 空白的。可以根據自己的記憶能力，一星期或兩星期看一次。
五、讀書方法 讀書要有側重點，數學分析中的定理，有的要著重看它的證明方法，他的方 法是獨特的，可以給自己以借鑑；有的要著重看定理的內容，它的定理應用，推 廣會更多一些；有的當做了解內容，因為它可能是為其它定理作鋪墊的。其中的例題一定要看，這個會是定理的淺顯應用，對於初學者來說，能夠為 以後做難題提供思路和方法。
六、數學分析中的創新與應用 在創新方面，一般是定理推廣，它的推廣會被現實生活中應用的更加廣泛。在應用方面，這個很多，一般是競賽中的應用，比如數學建模。在計算機程 序中也有很多應用。學好數學分析，其天賦是一方面，另一方面就是自己的不斷努力下所積累的 做題經驗和邏輯性思維。只有努力才有收穫！