滴水映照大海:一元二次方程裡的深刻學問|賢說八道

2020-12-13 返樸

撰文 | 曹則賢（中國科學院物理研究所研究員）

1826年，阿貝爾宣稱不是所有的五次方程都有有限根式解。阿貝爾發現，能用根式求解的代數方程 (其實就是二次、三次和四次方程)，根的根式解表達都是方程係數和單位根湊成的有理函數。伽羅華把方程可解性的問題轉化為具體方程的置換群及其子群結構的問題。筆者以為，應該是「有限根式意味著什麼」的問題。緊接著的伽羅華理論宣稱，一個代數方程有有限根式解，若且唯若它的伽羅華群是可解的。

自巴比倫人給出一元二次方程解3600多年後，或者自拉格朗日思考代數方程對稱函數約250年後，或者自伽羅華發展出伽羅華理論約200年後，多項式方程還被錯誤地教著，一元二次方程的解從未被正確地寫出來過，甚至連大學生都不學一元三次方程的解，想來真讓人慾哭有淚。

本文節選自曹則賢著《雲端腳下-從一元二次方程到規範場論》（尚未出版）

相關焦點

  • 滴水映照大海:一元二次方程裡的深刻學問 | 賢說八道
    自巴比倫人給出一元二次方程的解3600多年後，或者自拉格朗日思考代數方程的對稱函數約250年後，或者自伽羅華發展出伽羅華理論約200年後，俺們這裡多項式方程還被錯誤地教著，一元二次方程的形式解 從未被正確地寫出來過，甚至連大學生都不學一元三次方程的解，想來真讓人慾哭有淚。
  • 一元二次方程的根的處理
    本次課重點講解一元二次方程根的處理，其中包括根的個數的處理、特殊根的處理以及根與係數的關係，其中根的個數的處理需要用到的是判別式，而涉及到根的特殊要求的問題，則需要將含參的根解出來後再按要求進行處理，這兩種類型是本節課的重點內容.
  • 一元二次方程
    一元二次方程我們之前學習了一元一次方程、二元一次方程，我們今天對於次數進行拓展，學習一元二次方程，以及一些簡單的一元三次、四次方程
  • 一元二次方程問題
    一元二次方程是初三數學的重點。一、直接考點解決問題中會出現，計算題中小概率出現。二、間接考點一元二次方程是一元二次函數的基礎。如何學好？一是掌握一元二次方程的定義，一般形式，能抓住核心，靈活應用。三是根的判別式裡的證明。四是根與係數關係的典型題。五是解決問題，審題很重要。
  • 第一講 一元二次方程及解一元二次方程配方法、公式法
    一元二次方程的定義等號兩邊都是整式，只含有一個未知數（一元），並且未知數的最高次數是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。一元二次方程的一般形式是  ax2+bx+c=0(a≠0)其中 ax2是二次項，a是二次項係數；bx是一次項，b是一次項係數；c是常數項。使方程左右兩邊相等的未知數的值就是這個一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。
  • 一元二次方程講義
    一元二次方程ax +bx+c=0（a≠0，a、b、c為常數）叫一元二次方程的一般形式，其中ax 叫作二次項，a是二次項係數；bx叫做一次項，b是一次項係數；c叫作常數項。一元二次方程一般形式變形式有：ax +c=0（a≠0，a、c為常數）；ax +bx=0（a≠0，a、b為常數）；ax =0（a≠0，a為常數） 一元二次方程方程練習： 1、在x +3=x; 3 x - 4x – 5 ; x =- 1/x+2是一元二次方程的有（ ） 2、關於x的方程mx
  • 一元二次方程的講義
    一、一元二次方程的定義。只含有一個未知數，並且未知數項的最高次數是2，經過整理後都可化成一般形式ax²+bx+c=0（a≠0）的形式，這樣的整式方程叫做一元二次方程。一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a、b、c為常數）叫一元二次方程的一般形式，其中ax²叫作二次項，a是二次項係數；bx叫做一次項，b是一次項係數；c叫作常數項。
  • 一元二次方程的解法,一元二次方程係數與根的關係運用
    今天分享的內容——一元二次方程的知識一.一元二次方程的概念二.降次——解一元二次方程直接開平方法體現了降次思想，將一元二次方程轉化為兩個一元一次方程來解。在一元二次方程aⅹ2+bⅹ+C=0(a≠0)中，若a，c異號，則方程一定有兩個不相等的實數根，判別式通常用希臘字母△表示，即△=b2-4ac。
  • 一元二次函數與一元二次不等式和方程
    2019高考數學之一元二次函數與一元二次不等式1 概念一元二次函數：一個未知數，未知數的最高次數為二次。一元二次方程：一個未知數，未知數最高次數為二次的方程（等式）。一元二次不等式：一個未知數，未知數的最高次數為二次的不等式。
  • 一元二次方程(總結歸納)
    本篇是第一部分，以《一元二次方程》的雙基知識為主.【考點1】一元二次方程及其解法一元二次方程必須具備三個條件：(1)必須是整式方程；(2)必須只含有1個未知數；(3)所含未知數的最高次數是2．2.一般形式：3.
  • 一元二次方程的考點
    一元二次方程是中考的熱點話題一.解一元二次方程的方法二.根的判別式三.一元二次方程的應用題
  • 【初中數學】一元二次方程的應用
    等號兩邊都是整式，只含一個未知數（一元），並且未知數的最高次數是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。一元二次方程的一般形式是，其中ax2是二次項，a是二次項係數，bx是一次項，b是一次項係數；c是常數項。使一元二次方程左右兩邊相等的未知數的值，就是這個一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根。
  • 課堂案例|一元二次方程的概念
    本節課選自上教版數學八年級第一學期第十七章《一元二次方程》第一節《一元二次方程的概念》。本節課所在單元的結構圖如下：（虛線框是本節課的內容）「一元二次方程」是刻畫數量關係的重要模型，它的解法和應用是初中數學的核心內容。在本章內容學習之前，學生已經學習了一元一次方程以及二元、三元一次方程（組），掌握了方程的初步知識，領略了研究方程和探索方程（組）解法的思考方法。
  • 一元二次方程與判別式
    一元二次方程的求根在初中學過基本解法——公式法，先簡單的回顧一下：根的判別式的應用例1、不解方程，由根的判別式確定一元二次方程根。△>0，方程有兩個不相等的實數根;△=0，方程有兩個相等的實數根；△<0，方程沒有實數根。例2、根據一元二次方程的根的情況，由判別式求字母的取值範圍。一元二次方程根的判別式在高中數學中應用廣泛。
  • 教案 | 初中數學《一元二次方程》
    過程與方法：類比一元一次方程的概念，歸納總結一元二次方程的特點，掌握化成一般形式的技巧。情感態度與價值觀：探索一元二次方程定義，培養觀察能力，發現數學的美。二、教學重難點重點：一元二次方程的概念及轉化成一般形式難點：從實際問題列出一元二次方程，並熟練識別各項以及係數三、教學過程
  • 一元二次方程求解過程推導
    一元二次方程的解法主要有配方法、公式法和因式分解法等。首先介紹配方法。將一元二次方程化為如下形式若解得以上是用配方法求解一元二次方程的過程，目的就是為了等式左邊配成一個完全平方式，如果等式右邊為非負，則方程在實數範圍內有解。公式法其實就是把上述用配方法求出的結果直接當成公式來用。
  • 初中數學中,一元二次方程與一元二次函數的區別和聯繫
    一元二次方程，就是只有一個未知數，而且未知數的次數是二次的方程，這個方程的解有兩個，解方程有不同的方法。二次函數是隨x的變化而變化的一種函數關係，一元二次方程只是二次函數的一個特殊的點，也就是說，當二次函數的值為0時，它的關係式就是一元二次方程。
  • 數學專題——一元二次方程根的分布
    一元二次方程是初中數學中必學的內容，而且也是初中數學中的難點部分，在中考數學中所佔的比例也很大，因此學好一元二次方程極為重要。不僅如此，在歷年的高考試題中，一元二次方程總是以二次函數的形式出現，主要考查一元二次方程根的分布。
  • 初中數學:一元二次方程基礎知識點
    初中數學：一元二次方程基礎知識點一元二次方程基本知識點一元二次方程知識框架一元二次方程的有關概念一元二次方程的概念：通過化簡後，只含有一個未知數(一元)，並且未知數的最高次數是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程。2.
  • 一元二次方程專題複習
    一元二次方程專題複習考點一、概念(1)定義：①只含有一個未知數，並且②未知數的最高次數是2，這樣的③整式方程就是一元二次方程