疫情還在持續，學校還未正式開學，呆在家裡的你還好嗎？
趁著這個時間，趕緊把數學基礎補一補，比如說和我一起從今天開始學習《概率論》。
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樣本空間和概率公理
樣本空間：簡單來講，把一個隨機事件所有的結果匯總為一個集合，這個集合包含著所有的可能性，用字母S表示！
S究竟是代表著樣本空間「Sample Space」還是集合「Set」?
我認為是集合「Set」的縮寫。國外也有用字母Ω表示的！
概率的概念是由頻率引申出來的。
對於現實的社會而言，我們會觀察到各種各樣的結果，比如扔硬幣可能你扔10次會有8次是字朝上，甚至10次都是字朝上。這裡的8就是頻數，8除以10會得到頻率。
儘管現實的世界非常隨意，但是當實驗次數越多，頻率還會越來越趨近一個數，這個是就是概率。
一個事件的概率，是指在重複進行某實驗時，對該事件發生頻率的度量。
那該如何計算概率呢？
我們可以按照概率的來源計算，如下圖
事件E發生的概率理論上是指當重複無限多次試驗後，事件E發生的次數比上總的次數。
看起來這樣很符合人們的認知，但也有人會有疑問，比如為什麼一個事件發生會趨於一個值？
所有人進行試驗都會趨於同樣一個值嗎？
為了解決這樣的問題，現代概率論開始了新的公理化道路。
假設一個實驗的樣本空間為S，某一事件為E，定義一個P(E),則P(E)一定滿足下面三條公理：
0≤P(E)≤1P(S)=1對於一系列互補相容的事件（不會同時發生），則總概率等於每個事件的和。如下圖
上面三條就是概率的現代化公理定義，由此也可得知，概率具有三條性質：非負性、規範性和可加性。
由概率公理可以推測出幾個簡單的命題：
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條件概率和貝葉斯法則
條件概率簡單來講就是在發生A事件前提下再次發生B事件的概率。
示意圖如下
由條件概率可以推導出非常重要的乘法原則，即
P(A∩B)=P(B)*P(A|B)=P(A)*P(B|A)
根據乘法原則，再加上利用分割的思想，可以將一個問題轉換為若干個小問題。如下圖
這就是所謂的全概率公式。
貝葉斯推斷也就是繼續演化的結果，如下圖
我們可以認為某個A為事件的各種假設條件，而貝葉斯告訴我們的就是在實驗之前對各種假設條件的預估可以根據實驗結果進行修正。
例題：假設一共有三張卡片，一張正反都是紅色，一張正反都是黑色，一張正反一紅一黑，將這三張卡片混合到箱子中，隨機取出一張放在地上，正面是紅色，問另一面是黑色的可能性多大？
首先你的直覺是不是二分之一？這個答案是錯的！
解：我們用RR、BB和RB分別代表三張不同的卡片，計算如下：
可以看出，概率是三分之一，你能說說問題出在哪裡了嗎？
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獨立事件
下面我們來看看獨立事件的定義：
如果兩個事件符合上面的公式，則兩個事件相互獨立。此外，該公式可以推廣到多個獨立事件概率的計算。
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小結與預告
本篇文章內容主要講了關於概率論的基礎概念，下一講內容是離散型隨機變量