每個初中生都學過勾股定理：直角三角形中，兩直邊長度的平方和等於斜邊長度的平方。
這個定理在西方叫做畢達哥拉斯定理。
覺得它平淡無奇嗎？
然而，畢達哥拉斯定理是整個數學中最重要的定理之一。畢達哥拉斯定理的發現是數學史乃至人類思想史上最重大的事件之一，其影響極為深遠。
這個定理最廣為人知的例子是：三邊長度之比為3：4：5的三角形構成直角三角形。
古埃及人在丈量土地的過程中很早就知道了這一點。這是故事發展的第1階段。
現在假設我們沒在學校學過勾股定理，假設有一天我們從別人那裡知道了：三邊長度為3、4、5米的三角形構成直角三角形。然後呢？
是的，這很有意思：第一，3，4，5，是不大的整數，第二，它們還是挨著的三個整數。
但是，其它三個挨著的整數並不能構成直角三角形，所以這不過是一個有趣得巧合罷了。有趣，但並沒更深的含義。用不著再花時間思考它。
但是，畢達哥拉斯聽到埃及人的這一發現後，被深深地觸動了。
3，4，5，是線段的長度；直角，是特定大小的角度。它們之間也許存在著內在的、隱秘的聯繫，而不僅僅是一個偶然的現象。
3，4，5，這三個數，除了是緊挨著的三個數之外，還有什麼關係呢？
畢達哥拉斯發現，3與3相乘得到9，4與4相乘得到16，5與5相乘得到25――正好是9與16之和！這是故事發展的第2階段。
這會不會是偶然呢？別的三個整數，如果其中兩個的平方和等於第三個的平方，是不是也構成直角三角形？
快去找其它的數！
試過很多數以後，發現：5，12，13，也是這樣的一組數，25+144=169！
用它們做成一個三角形，果然得到一個直角三角形！
再找！
哦，8，15，17也是這樣的一組數，7，24，25也是這樣的一組數，而用它們做出的三角形，確實都是直角三角形。
大家可以想像到，找出這些數，需要進行很多次計算，因為沒有什麼公式可以用，只能一個一個地試。
（後來，有人得出了產生「勾股數」的公式，可以找出直角三角形邊長的全部整數解。不過這與本文的主題無關。）
不管怎麼樣，試驗表明：三個整數，只要存在上面所說的關係，用它們做出的三角形，必定是直角三角形；這一聯繫不是偶然的而是普遍的。這是故事發展的第3階段。
現在是不是可以滿意了呢？
現在是發現了一種意外的然而普遍的聯繫。為什麼會存在這種聯繫呢？怎樣理解這種聯繫呢？在「知其然」之後，能不能進一步「知其所以然」呢？能不能找到對這種聯繫的解釋呢？
解釋被找到了。解釋意味著弄懂何以必然如此，而這就意味著證明。歐幾裡得的《幾何原本》記載下了對畢達哥拉斯定理的一種證明。
現在理解了，直角三角形中，兩條直角邊長度的平方和必然等於斜邊長度的平方。這是故事發展的第4階段。
然而故事還沒有結束！
因為，在對畢達哥拉斯定理進行證明時，利用的是幾何圖形的性質，而不是數字的性質。
幾何圖形，比如線段的長度，與數字的關係是怎樣的呢？絕不要以為這個問題是簡單的！
線段本身談不上數字，只有兩條線段長度之間的比值才與數字發生關係。
畢達哥拉斯（以及他那個時代的所有人）認為，任何兩條或幾條線段長度之間的比值，都可以用幾個整數之比表示出來。比如，3：2，再比如，432789602：432789601。
他們的意思是，任意給定幾條不同長度的線段，總能找到一個短線段，用這個短線段去量給定的幾個線段，每一條線段都可以經過整數次以後正好量完（術語是「可公度」）。
比如，以人的食指與中指的長度為例，雖然中指的長度不是食指長度的整數倍，但是，（古希臘人認為）可以找到一個很短的線段，中指和食指都是它的整數倍，中指的倍數略大一點。
對這種看法，你同意嗎？同意或不同意的理由是什麼？
總之這是古希臘人的看法，我記得我小時候也是這麼認為的。
如果你選的線段不能正好量完給定的幾個線段，他們會說，這是因為你用的線段還不夠短，你應該換一個更短的線段。
所以這種看法幾乎不可能駁倒。
但是畢達哥拉斯定理的發現，使這種看法站不住腳了！
畢達哥拉斯發現，正方形的對角線與它的邊長是不可公度的，就是說，它們的長度不能表示成兩個整數之比！
因為，假設正方形的對角線與邊長之比可以表示成兩個整數之比m：n，那麼，按照畢達哥拉斯剛發現的定理，m的平方應該等於n的平方的二倍。
而畢達哥拉斯發現這是不可能的：沒有哪個整數的平方，可以恰好等於另一個整數的平方的二倍！
我的神，他怎麼能發現這一點呢！
歐幾裡得的《幾何原本》裡，也記下了對這一點的證明。這個證明是全部數學中最高等級的證明之一，雖然現在一個初中生就能夠理解它。
這一發現在古希臘數學家中引起了非常大的不安，因為他們發現，他們關於線段與數字的概念存在嚴重的問題，而他們完全找不到出路。這被稱為數學史上的第一次危機。這是故事發展的第5階段，也是本文的結束。
結束之前，再來回顧一下我們的起點，即古埃及人關於3、4、5的發現；再看看古希臘數學家的思考把我們帶到了什麼高度！
另外不要忘了這一切都是兩千四百年前的思維成果……
我們還注意到，引導畢達哥拉斯之流的，不是實用方面的考慮，而是純智力上的興趣。很難想像只關心丈量土地或建造金字塔的人，會進行這個方向的探索。
這也是為什麼雖然在世界上別的地方也發現了同一個定理，但唯獨畢達哥拉斯對後世的數學研究發生了深刻的影響。
（說明：文中的畢達哥拉斯不應理解為畢達哥拉斯本人，而應理解為他以及他的學派。）
本文封面圖片來自網絡，感謝原作者！