剖析橢圓的標準方程及其幾何性質

從最近幾年的高考試題來看，橢圓的定義、標準方程、幾何性質等是高考命題的基本元素，也是考查的重點，考查的角度有：對橢圓的定義理解及定義的應用，求橢圓的標準方程，求離心率以及向量、直線、圓的綜合應用。

一、橢圓的定義的應用

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【溫馨提示】

（1）橢圓定義中提到的常數通常用2a表示，焦距通常用2c表示，2c＝|F1F2|。(1)當2a>2c時，表示橢圓；(2)當2a＝2c時，表示線段F1F2；(3)當2a<2c時，其軌跡不存在。

（2）橢圓定義的應用主要有兩個方面：一是確認平面內與兩定點有關的軌跡是否為橢圓；二是當P在橢圓上時，與橢圓的兩焦點F1，F2組成的三角形通常稱為「焦點三角形」，利用定義可求其周長；利用定義和餘弦定理可求|PF1|·|PF2|；通過整體代入可求其面積等。

二、求橢圓的標準方程

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【必記結論】

（1）橢圓方程的一般形式：mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，其焦點位置有如下規律，當m<n時，焦點在x軸上；當m>n時，焦點在y軸上．在求橢圓的標準方程時，有時不知焦點在哪一個坐標軸上，一般可設所求橢圓的標準方程為mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，不必考慮焦點位置，用待定係數法求出m，n的值即可。

（2）求橢圓標準方程的兩個基本方法：

定義法：關鍵在於充分利用平面幾何知識，並注意畫圖分析，充分挖掘問題中所隱含的幾何屬性，從而確定動點是否滿足橢圓的定義。

待定係數法：當已知動點軌跡為橢圓時可以使用待定係數法，其關鍵是確定橢圓焦點的位置設出橢圓方程，代入已知條件求得橢圓方程中的係數。

三、橢圓的幾何性質的綜合應用

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【 歸納點撥】

求橢圓離心率的方法：

(1)直接求出a，c的值，利用離心率公式直接求解。

(2)列出含有a，b，c的齊次方程(或不等式)，藉助於b2＝a2－c2消去b，轉化為含有e的方程(或不等式)求解。

總之，要抓住考查的主要題目類型進行訓練，重點是依據橢圓的幾何性質求離心率；根據橢圓的定義求標準方程；直線與橢圓的小綜合等。以上是對橢圓的標準方程及其幾何性質進行一些簡單的淺析，希望給同學們一點幫助。