1. 知識要點
統計廣泛應用於工作、生活中，如生產管理、影響管理，具有實用性強的特點。即使在當今的大數據時代，統計學的方法仍是數據分析的靈魂。
高中階段學了用樣本估計整體的兩種方法，它們在整個統計過程的位置與作用見下圖:
① （直觀的）頻率分布法——分布表、直方圖、折線圖、莖葉圖
② （量化的）數字特徵法——眾數、中位數、極差、平均數、方差
2. 基本問題說明
一般地，用樣本估計總體的基本問題有：
① 根據已知樣本數據，求解頻率分布表和/或畫出直方圖、折線圖、莖葉圖，以此估計總體的情況。；
② 根據已知樣本數據，求解眾數、中位數、極差、平均數、方差等數字特徵，以此估計總體的情況。
3. 解決問題的一般方法
1) 熟練掌握頻率分布表、直方圖、折線圖、莖葉圖等概念及其求解一般方法
① 畫頻率分布直方圖的一般方法
a) 確定橫坐標
求極差（即一組數據中最大值與最小值的差）；定分組數；得每組數據（即組距。注意，兩組之間的邊界值歸入上或下一組都行，但通常不會同時被包含或不被包含！）b) 確定縱坐標
統計頻數；算出頻率；得出縱坐標（即頻率/組距）；c) 列頻率分布表（在解答填空或選擇題時，在草稿紙上簡捷完成即可，目的是為了方便檢查和避免犯錯）
統計頻數；計算頻率。d) 畫頻率分布直方圖。
提示1：頻率分布直方圖中小矩形的面積=組距×矩形高度(頻率/組距)=頻率。
提示2：各組頻率之和為1（可利用此點來演算）。
② 莖葉圖的作圖步驟及要求
a) 先莖後葉；
b) 莖有序，葉無序（按數據出現先後順序依次填入即可）
2) 熟練掌握眾數、中位數、極差、平均數、方差等數字特徵的概念與公式。
4. 典型例題
例1 在生產過程中，測得纖維產品的纖度（表示纖維粗細的一種量）共有 100 個數據，將數據分組如表。
（1）完成頻率分布表，並畫出頻率分布直方圖。
（2）估計纖度落在[1.38, 1.50]中的概率及纖度小於1.40的概率是多少？
（3）統計方法中，同一組數據常用該組區間的中點值（例如區間[1.30, 1.34]的中點值是1.32）作為代表．據此，估計纖度的期望。
解：(1)頻率分布表如下（提示：注意分組邊界處為一開一閉）：
頻率分布直方圖如下：
（2）纖度落在[1.38, 1.50]中的概率約為：
0.30+0.29+0.10 =0.69；
纖度小於1.40的概率約為：
0.04+0.25+0.5×0.30=0.44；
（3）總體數據的期望約為：
1.32×0.04+1.36×0.25+1.40×0.30+1.44×0.29+1.48×0.10+1.52×0.02=1.4088.
講解：
① 如還未學到數學期望的概念，可跳過最後一問。不過，也可參照基礎知識中的「加權平均數」概念現學現賣：當統計對象為樣本值、權為其頻率時，此時的加權平均數成為數學期望。
例2 (山東文14)如圖是根據部分城市某年6月份的平均氣溫（單位: "C)數據得到的樣本頻率分布直方圖，其中平均氣溫的範圍是[20.5, 26.5], 樣本數據的分組為[20.5, 21.5), [21.5, 22.5), [22.5, 23.5), [23.5, 24.5), [24.5, 25.5), [25.5, 26.5]. 已知樣本中平均氣溫低於22.5"C 的城市個數為11, 則樣本中平均氣溫不低於25.5"C 的城市個數為___
解：平均氣溫低於22.5℃的頻率，即最左邊兩個矩形面積之和為：
0.10×1+0.12×1=0.22，
所以總城市數（樣本容量）為:
11÷0.22=50，
平均氣溫不低於25.5℃的頻率即為最右面矩形面積為:
0.18×1=0.18，
所以平均氣溫不低於25.5℃的城市個數為:
50×0.18=9．
故所求城市個數為9。
講解：
① 本題考查頻率分布直方圖的應用能力，即根據已知頻率分布直方圖，閱讀並利用圖形及其數據來分析和解決問題的能力。
② 根據已知的頻率分布直方圖，可得到以下關係式：
關係式1：頻率=小矩形的面積=組距×矩形高度(頻率/組距）關係式2：頻數=頻率×樣本容量。關係式3：各組頻率之和為1（這點除了用來解題，還可用以驗算）。③ 本題的解題一般方法
逆用關係式「頻數=頻率×樣本容量」先求出樣本容量，再正用該關係式求出所求頻數。提示1：由「頻數=頻率×樣本容量」可變形為「樣本容量=頻數/頻率」，即不同組的頻數/頻率值相等。所以本題也可簡潔地列出以下等式進行求解：11/0.22 = x/0.18。提示2：出題人也可以逆用其它關係式如各組頻率之和為1來進行題設，分析、求解方法與本題類似。因此，只要熟練掌握頻率分布直方圖的概念和特性，無論正用或逆用，均能靈活應用、觸類旁通。本文就不應用舉例了。
例3在最近的10次數學考試中，甲同學的成績分別為82,85,73,65,74,91,83,76, 93, 88；乙同學的成績分別為75,68,73,74,84,83,66,87,77,85, 根據以上數據做甲乙兩個人成績的莖葉圖。
解：如圖。
講解：
① 莖葉圖的特性
a) 能讀出原始數據（莖葉拼在一起即可）
b) 莖葉圖逆時針旋轉90度，就成了另類直方圖了
c) 莖葉圖具有易修改、易增添、有原始數據等優點(但不適用於數據量大的情形而直方圖適用）
d) 直觀
例4甲、乙兩人在10天中每天加工零件的個數用莖葉圖表示如下圖，中間一列的數字表示零件個數的十位數，兩邊的數字表示零件個數的個位數，則這10天甲、乙兩人日加工零件的平均數分別為___和___。
解：（提示：已知莖葉圖的應用，只要能讀懂圖即可解出來。屬送分題，千萬不能算出）
由莖葉圖知，甲加工零件個數的平均數為：
（19+18+20×2+21+22+23+31×2+35）/10=24
乙加工零件個數的平均數為：
（19+17+11+21+22+24×2+30×2+32）/10 = 23
故答案為：24；23．
講解：
① 本題為統計數字特徵的基礎應用題型。
② 無論何種解法，都必須先掌握準確理解相關基本概念及其應用的一般思路和方法，然後再根據題意靈活選取合適解題路徑或思路。
③ 本題結論意為：=α+(1-α)，即與、之間的接近程度不是由其平均值大小決定的，而是由兩組樣本的數量大小決定。
講解：
① 熟練掌握數字特徵公式及其應用與逆用。
例7由正整數組成的一組數據x1，x2，x3，x4，其平均數和中位數都是2，且標準差等於1，則這組數據為______．（從小到大排列）
解得x4=1(捨去)或x4=3，符合題意，由此可得x1=1
故答案為1，1，3，3
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