中考中角平分線相關知識是一個重要考點。
下面我們就講解一下角平分線的作法和性質。
首先我們講一下相關概念。
1. 角平分線是指從角的頂點引出一條射線，把這個角分成兩個相等的角，這條射線叫做這個角的角平分線。（如圖1）
2.點到直線的距離
從直線外一點到這條直線的垂線段的長度叫做點到直線的距離，即OP的長度。（如圖2）
其次，我們講講角平分線的作法：
疊合法如圖3所示，將∠BAC對摺使AB、AC重合，則AD即為∠BAC的平分線。
2.度量法，即用量角器測量，找出角平分線。
3.尺規作圖（重點）
作法：(1)以點O為圓心，任意長為半徑作圓弧，與角的兩邊分別交於M、N兩點；
(2)分別以M、N為圓心，大於1/2MN適當的長為半徑作弧，兩條圓弧交於∠AOB內一點P；
(3)作射線OP；OP就是所求作∠AOB的平分線。
那麼為什麼OP是角平分線呢？
如圖4所示，OM=ON，MP=NP。下面我們證明OP平分∠AOB。
證明：在△OMP和△ONP中， OM=ON，
∵ MP=NP， OP=OP，
∴ △OMP≌ △ONP（SSS）
∴∠MOP=∠NOP
即：OP平分∠AOB，所以OP是角平分線。
最後，我們討論一下角平分線的性質。
先將∠AOB先對摺
再折出一個直角三角形(使第一條摺痕OC為斜邊),然後展開，觀察第二次摺疊形成的兩條摺痕，你能得出什麼結論？
根據角平分線的作法，可知：第一次摺痕是∠AOB的平分線OC；
第二次摺疊形成的兩條摺痕PD，PE是角的平分線OC上的P點到∠AOB兩邊的垂線段。
那麼PD與PE長度之間有什麼關係呢？如果按同樣的方法折第三次，第四次呢？
下面我們驗證猜想：
已知：如圖，OC平分∠AOB，點P在OC上,PD⊥OA於點D，PE⊥OB於點E.求證: PD=PE
證明：∵OC平分∠ AOB， （已知）
∴ ∠1= ∠2,（角平分線的定義）
∵PD ⊥ OA，PE ⊥ OB,（已知）
∴ ∠PDO= ∠PEO=90°,（垂直的定義）
在ΔPDO和ΔPEO中， ∠1= ∠2 ，（已證）
∵ ∠PDO= ∠PEO,（已證） OP=OP ，（公共邊）
∴ ΔPDO ≌ ΔPEO,（AAS）
∴PD=PE.（全等三角形的對應邊相等）
從而我們得出角平分線的性質定理：角平分線上的點到角兩邊的距離相等.
思考：
如圖所示OC是∠AOB 的平分線,P 是OC上任意一點,問PE=PD?為什麼?
PD , PE沒有垂直OA,OB,它們不是角平分線上任意一點到這個角兩邊的距離,所以不一定相等.
以上在方法上主要學習了：
⑴運用觀察、測量、猜想、驗證等方法獲得新知識；
⑵解決角平分線的問題的常用方法:從角平分線上的一點向角的兩邊作(找）垂線段。
⑶證線段相等常用方法：（1）全等，（2）等腰三角形，（3）角平分線的性質。