角平分線的性質與判定

角平分線的性質

探究點1：角平分線的尺規作圖

用尺規作∠AOB的平分線．了解作法.

已知：平角∠AOB.  

求作：平角∠AOB的角平分線.

探究點2：角平分線的性質

已知：如圖， ∠AOC= ∠BOC,點P在OC上，PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分別為D,E.

求證：PD=PE.

歸納：

       角的平分線上的點到角的兩邊的    相等.

應用所需要的條件：（1）            （2）            （3）             

符號語言：

∵OP 是∠AOB的平分線，

∵ PD⊥OA,PE⊥OB，

∴                          

例1: 已知：如圖，在△ABC中，AD是它的角平分線，且BD=CD,DE⊥AB, DF⊥AC.垂足分別為E,F.

求證：EB=FC.

例2: 如圖：在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB於E，

F在AC上，BD＝DF.求證：(1)CF＝EB；(2)AB＝AF＋2EB.

1.在S區有一個貿易市場P，它建在公路與鐵路所成角的平分線上，要從P點建兩條路，一條到公路，一條到鐵路，怎樣修才能使路最短？它們有怎樣的數量關係呢？

2.如圖，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，垂足為E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，則AC的長是(　　)

A．6      B．5          C．4          D．3

3.如圖，已知AD∥BC，P是∠BAD與 ∠ABC的平分線的交點，PE⊥AB於E，且PE=3，求AD與BC之間的距離.

4.如圖所示，D是∠ACG的平分線上的一點．DE⊥AC，DF⊥CG，垂足分別為E，F.

求證：CE＝CF.

角平分線的判定

角平分線的判定定理：                        

應用所具備的條件：（1）位置關係：                ；

                  （2）數量關係：                .

定理的作用：                     .

應用格式：∵                     

          ∴點P 在∠AOB的平分線上.

例1：如圖，要在S區建一個貿易市場，使它到鐵路和公路距離相等， 離公路與鐵路交叉處500米，這個集貿市場應建在何處（比例尺為1︰20000）？

例2 如圖，BE＝CF，DE⊥AB的延長線於點E，DF⊥AC於點F，且DB＝DC，

求證：AD是∠BAC的平分線．

三角形內角平分線的性質及運用

分別畫出下列三角形三個內角的平分線，你發現了什麼特點嗎？

歸納：

  ①三角形的三條角平分線相交於   點，它到                .

  ②三角形內，到三邊距離相等的點是                       .

例2：已知：如圖，△ABC的角平分線BM，CN相交於點P，

求證：點P到三邊AB，BC，CA的距離相等.

1.如圖，在△ABC中，點O是△ABC內一點，且點O到△ABC

三邊的距離相等．若∠A＝40°，則∠BOC的度數為(　　)

2.如圖，已知∠CBD和∠BCE的平分線相交於點F，

求證：點F在∠DAE的平分線上.

3.如圖, 直線l1、l2、l3表示三條互相交叉的公路,

現要建一個貨物中轉站, 要求它到三條公路的距離

相等, 可選擇的地址有幾處? 畫出它的位置.