中考數學——角平分線的判定

2020-12-15 希望教育課堂

昨天,我們講解了角平分線的作法以及性質。

今天,我們將講角平分線的判定。

我們知道,角平分線的性質定理的內容是:角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等。

用符號語言描述即(如圖1):

圖1

∵ OC是∠AOB的平分線 , PD⊥OA,PE⊥OB

∴ PD=PE

想一想,如果我們把角平分線性質定理反過來,即:到一個角的兩邊距離相等的點是否一定在這個角的平分線上呢?

下面我們證明看看

已知:如圖,QD⊥OA,QE⊥OB,點D、E為垂足,QD=QE.

求證:點Q在∠AOB的平分線上.

圖2

證明:∵QD⊥OA,QE⊥OB(已知)

∴∠QEO=∠QDO=90°

∴△OEQ與△ODQ均為直角三角形

∵QD=QE(已知),OQ公共邊

∴△OEQ≌△ODQ(HL)

∴OQ是∠AOB的平分線,即:點Q在∠AOB的平分線上。

綜上可得:到一個角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上。

所以,角平分線的判定定理:到一個角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上。

因為到一個角兩邊距離相等的點有無數個,且這無數個點都在角平分線上。

所以:

角平分線可以看做到角的兩邊距離相等的所有點的集合

下面我們舉例說明角平分線的判定定理的應用:

例1. 如圖,開發區一個工廠,在公路西側,到公路的距離與到河岸的距離相等,並且與河上公路橋較近橋頭的距離為500米。在圖上標出工廠的位置,並說明理由。

圖3

解:如圖4所示,根據角平分線的判定定理:到角的兩邊距離相等的點在角平分線上,所以工廠的位置在角平分線上並且距離橋頭500米,即圖中P點所處的位置。

圖4

例2.如圖,已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分線相交於點F,

求證:點F在∠DAE的平分線上.

圖5

思路:看到角平分線我們應想到經過角平分線上的某一點(本題F點)向角的兩邊引垂線。

證明:過點F作FG⊥AE,FH⊥AD,FM⊥CB,垂足分別為G、H、M

∴FG=FM,FH=FM

∴FG=FH

∴點F在∠DAE的平分線上.

以上我們能學習到:

角平分線的性質:角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等。角平分線的判定:到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上。角平分線可以看做到角的兩邊距離相等的無數個點的集合。依據角平分線的性質和判定定理作輔助線。

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