昨天,我們講解了角平分線的作法以及性質。
今天,我們將講角平分線的判定。
我們知道,角平分線的性質定理的內容是:角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等。
用符號語言描述即(如圖1):
∵ OC是∠AOB的平分線 , PD⊥OA,PE⊥OB
∴ PD=PE
想一想,如果我們把角平分線性質定理反過來,即:到一個角的兩邊距離相等的點是否一定在這個角的平分線上呢?
下面我們證明看看
已知:如圖,QD⊥OA,QE⊥OB,點D、E為垂足,QD=QE.
求證:點Q在∠AOB的平分線上.
證明:∵QD⊥OA,QE⊥OB(已知)
∴∠QEO=∠QDO=90°
∴△OEQ與△ODQ均為直角三角形
∵QD=QE(已知),OQ公共邊
∴△OEQ≌△ODQ(HL)
∴OQ是∠AOB的平分線,即:點Q在∠AOB的平分線上。
綜上可得:到一個角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上。
所以,角平分線的判定定理:到一個角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上。
因為到一個角兩邊距離相等的點有無數個,且這無數個點都在角平分線上。
所以:
角平分線可以看做到角的兩邊距離相等的所有點的集合
下面我們舉例說明角平分線的判定定理的應用:
例1. 如圖,開發區一個工廠,在公路西側,到公路的距離與到河岸的距離相等,並且與河上公路橋較近橋頭的距離為500米。在圖上標出工廠的位置,並說明理由。
解:如圖4所示,根據角平分線的判定定理:到角的兩邊距離相等的點在角平分線上,所以工廠的位置在角平分線上並且距離橋頭500米,即圖中P點所處的位置。
例2.如圖,已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分線相交於點F,
求證:點F在∠DAE的平分線上.
思路:看到角平分線我們應想到經過角平分線上的某一點(本題F點)向角的兩邊引垂線。
證明:過點F作FG⊥AE,FH⊥AD,FM⊥CB,垂足分別為G、H、M
∴FG=FM,FH=FM
∴FG=FH
∴點F在∠DAE的平分線上.
以上我們能學習到:
角平分線的性質:角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等。角平分線的判定:到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上。角平分線可以看做到角的兩邊距離相等的無數個點的集合。依據角平分線的性質和判定定理作輔助線。