幾何圖形中的動點問題

 一、中考專題詮釋

所謂「動點型問題」是指題設圖形中存在一個或多個動點,它們在線段、射線或弧線上運動的一類開放性題目。 這類試題以運動的點、線段、變化的角、圖形的面積為基本條件，給出一個或多個變量，要求確定變量與其他量之間的關係，或變量在一定條件為定值時，進行相關的幾何計算和綜合解答，解答這類題目，一般要根據點的運動和圖形的變化過程，對其不同情況進行分類求解。

二、解題策略和解法精講

解決動點問題的關鍵是「動中求靜」.

從變換的角度和運動變化來研究三角形、四邊形、函數圖像等圖形，通過「對稱、動點的運動」等研究手段和方法，來探索與發現圖形性質及圖形變化，在解題過程中滲透空間觀念和合情推理。在動點的運動過程中觀察圖形的變化情況，理解圖形在不同位置的情況，做好計算推理的過程。在變化中找到不變的性質是解決數學「動點」探究題的基本思路,這也是動態幾何數學問題中最核心的數學本質。

三、例題精講

例：如圖1，已知點A(2，0)，B(0，4)，∠AOB的平分線交AB於點C，一動點P從O點出發，以每秒2個單位長度的速度，沿y軸向點B作勻速運動，過點P且平行於AB的直線交x軸於點Q，作點P、Q關於直線OC的對稱點M、N．設點P運動的時間為t(0<t<2)秒．

(1)求C點的坐標，並直接寫出點M、N的坐標（用含t的代數式表示）．

(2)設△MNC與△OAB重疊部分的面積為S．

①試求S關於t的函數關係式；

②在直角坐標系中，畫出S關於t的函數圖象，並回答：S是否

有最大值？若有，寫出S的最大值；若沒有，請說明理由．

（一）、探求解題思路

1．利用基礎知識輕鬆求解

由題意不難發現第1問是對基礎知識的考查，有多種方法，考生可自行選擇解法.

簡解1  可通過作輔助線，過點C作CF上x軸於點F，CE⊥y軸於點E，由題意，易知四邊形OECF為正方形，設正方形邊長為x．由比例式求出點C的坐標(4/3，4/3)．

簡解2  由點A、B的坐標可得直線AB的解析式y＝－2x＋4；由OC是∠AOB的平分線可得直線OC的解析式y＝x；聯立方程組輕鬆解得點C的坐標(4/3，4/3)

關於求點M、N的坐標，是對相似及對稱性的考查，根據相似可得P(0，2t)，Q(t，0)，根據對稱性可得M(2t，0)，N(0，t).這樣，第1問輕鬆獲解．

2．動靜結合找界點，分類討論細演算

第2問的第一小題中，所求函數關係式為分段函數，需要分類討論，這是本題的難點之一；而關鍵是動靜結合找界點，得出t＝1時重疊部分的關係會發生變化，這是本題的難點之二．解答時需動手畫出草圖，隨著點M、N的位置的變化，△MNC的位置也隨之發生變化，△MNC與△OAB重疊部分的面積S也發生變化.S可能會存在兩種情形：①△OAB將△MNC全部覆蓋；②△OAB將△MNC部分覆蓋；點M從點O出發運動到點A時，即t＝1時重疊部分的關係會發生變化，函數關係式也隨之改變．

由t＝1這個界點確定兩個範圍，以此界值進行分類討論：

當0<t≤1時，點M在線段OA上，△OAB將△MNC全部覆蓋，重疊部分面積為S△CMN＝S四邊形CMON－S△OMN.

結合點C的坐標(4/3，4/3)，可得

S△CMN＝－t2＋2t；

當1<t<2時，點M在OA的延長線上，設MN與AB交於點D，△OAB將△MNC部分覆蓋，則重疊部分面積為S△CDN.

另一個關鍵是要用t的代數式表示D點的橫坐標，即△BDN的高，這是本題的難點之三．

由M(2t，0)，N(0，t)可先用t的代數式表示直線MN的解析式y＝－1/2x＋t．

再結合直線AB的解析式y＝－2x＋4，聯立方程組，解出D點的橫坐標為（8-2t）/3,則重疊部分面積為

S△CDN＝S△BDN－S△BCN=1/3t2-2t+8/3

        綜上所述，

由函數解析式及其自變量的取值範圍可畫出函數圖象，觀察圖象可知，當t＝1時，S有最大值，最大值為1．

（二）、規範解答問題

(1)如圖2，過點C作CF⊥x軸於點F，CE⊥y軸於點E，由題意，易知四邊形OECF為正方形，設正方形邊長為x．

∴OP＝2DQ．

∵P(0，2t)，∴Q(t，0).

∵對稱軸OC為第一象限的角平分線，

∴對稱點坐標為：M(2t，0)，N(0，t).

(2)①當0<t≤1時，如圖3所示，點M在線段OA上，重疊部分面積為S△CMN.

 

當1<t<2時，如圖4所示，點M在OA的延長線上，設MN與AB交於點D，則重疊部分面積為S△CDN

設直線MN的解析式為y＝kx＋b，將M(2t，0)、N(0，t)代入，得

綜上所述，

②畫出函數圖象，如圖5所示：

觀察圖象可知，當t＝1時，S有最大值，最大值為1．

（三）、解題反思

1、關鍵的一步

本題在突破第2問時，能否得出t＝1時重疊部分的關係會發生變化，這是決定性的一步，否則就不知該如何分類討論，解題就難以找到前進的方向．

2、解題難點

解決本題的主要困難首先是分類討論，依據題意知點P運動的時間為t(0<t<2)秒，可以確定點肘、N運動過程中的三類點，即起點、界點（有的題中存在多個界點）和終點，由界點值劃分範圍，確定分類標準（通常情況下，為了書寫方便簡潔，可將界點值歸入動態的範圍），然後進行分類計算（對於幾何圖形問題，通常需要根據相似、三角函數、勾股定理以及圖形面積建立方程等數學模型計算）．其次是重疊面積分類，當1<t<2時，我們面對的困難是如何對重疊部分的面積進行分割；如何用t的代數式表示點D的橫坐標；得出S△CDN＝S△BDN－S△BCN也是比較困難的；再者分類後的計算，稍不注意也可能出錯．

四、考點分類

考點一：建立動點問題的函數解析式（或函數圖像）

函數揭示了運動變化過程中量與量之間的變化規律,是初中數學的重要內容.動點問題反映的是一種函數思想,由於某一個點或某圖形的有條件地運動變化,引起未知量與已知量間的一種變化關係,這種變化關係就是動點問題中的函數關係.

例1  已知：在△ABC中，BC=10，BC邊上的高h=5，點E在邊AB上，過點E作EF∥BC，交AC邊於點F．點D為BC上一點，連接DE、DF．設點E到BC的距離為x，則△DEF的面積S關於x的函數圖象大致為（　　）

考點二：動態幾何型題目

點動、線動、形動構成的問題稱之為動態幾何問題. 它主要以幾何圖形為載體，運動變化為主線，集多個知識點為一體，集多種解題思想於一題. 這類題綜合性強，能力要求高，它能全面的考查學生的實踐操作能力，空間想像能力以及分析問題和解決問題的能力.

動態幾何特點----問題背景是特殊圖形，考查問題也是特殊圖形，所以要把握好一般與特殊的關係；分析過程中，特別要關注圖形的特性（特殊角、特殊圖形的性質、圖形的特殊位置。）動點問題一直是中考熱點，近幾年考查探究運動中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四邊形、梯形、特殊角或其三角函數、線段或面積的最值。

（一）點動問題．

例2  如圖，梯形ABCD中，AB∥DC，DE⊥AB，CF⊥AB，且AE=EF=FB=5，DE=12動點P從點A出發，沿折線AD-DC-CB以每秒1個單位長的速度運動到點B停止．設運動時間為t秒，y=S△EPF，則y與t的函數圖象大致是（　　）

（二）線動問題

例3  如右圖所示，已知等腰梯形ABCD，AD∥BC，若動直線l垂直於BC，且向右平移，設掃過的陰影部分的面積為S，BP為x，則S關於x的函數圖象大致是（　　）

（三）面動問題

例4  如圖所示：邊長分別為1和2的兩個正方形，其中一邊在同一水平線上，小正方形沿該水平線自左向右勻速穿過大正方形，設穿過的時間為t，大正方形內去掉小正方形後的面積為s，那麼s與t的大致圖象應為（　　）

考點三：雙動點問題

動態問題是近幾年來中考數學的熱點題型.這類試題信息量大,其中以靈活多變而著稱的雙動點問題更成為中考試題的熱點中的熱點，雙動點問題對同學們獲取信息和處理信息的能力要求更高高;解題時需要用運動和變化的眼光去觀察和研究問題,挖掘運動、變化的全過程,並特別關注運動與變化中的不變量、不變關係或特殊關係,動中取靜,靜中求動.

例5  如圖，在平面直角坐標系中，四邊形ABCD是梯形，AB∥CD，點B（10，0），C（7，4）．直線l經過A，D兩點，且sin∠DAB=根號2/2．動點P在線段AB上從點A出發以每秒2個單位的速度向點B運動，同時動點Q從點B出發以每秒5個單位的速度沿B→C→D的方向向點D運動，過點P作PM垂直於x軸，與折線A→D→C相交於點M，當P，Q兩點中有一點到達終點時，另一點也隨之停止運動．設點P，Q運動的時間為t秒（t＞0），△MPQ的面積為S．
（1）點A的坐標為           ，直線l的解析式為            ；
（2）試求點Q與點M相遇前S與t的函數關係式，並寫出相應的t的取值範圍；
（3）試求（2）中當t為何值時，S的值最大，並求出S的最大值；
（4）隨著P，Q兩點的運動，當點M在線段DC上運動時，設PM的延長線與直線l相交於點N，試探究：當t為何值時，△QMN為等腰三角形？請直接寫出t的值.

考點四：幾何動點問題

1、如圖，AB是半圓O的直徑，點P是半圓上不與點A、B重合的一個動點，延長BP到點C，使PC=PB，D是AC的中點，連接PD，PO.  

（1）求證：△CDP∽△POB；                                                                 

（2）填空： ① 若AB=4，則四邊形AOPD的最大面積為           ；            

② 連接OD，當∠PBA的度數為       時，四邊形BPDO是菱形.

                

 2、如圖，AD是△ABC的角平分線，DE，DF分別是△ABD和△ACD的高，得到下面四個結論：

            

①OA=OD;                                                                                                         

②AD⊥EF;                                                                                                       

③當∠A=90°時，四邊形AEDF是正方形；                                              

④AE2+DF2=AF2+DE2.其中正確的是（     ）                                         

A.  ②③ B. ②④       C.①③④         D.②③④           

3、已知：如圖，菱形ABCD中，對角線AC，BD相交於點O，且AC=12cm，BD=16cm．點P從點B出發，沿BA方向勻速運動，速度為1cm/s；同時，直線EF從點D出發，沿DB方向勻速運動，速度為1cm/s，EF⊥BD，且與AD，BD，CD分別交於點E，Q，F；當直線EF停止運動時，點P也停止運動．連接PF，設運動時間為t（s）（0＜t＜8）．解答下列問題：

（1）當t為何值時，四邊形APFD是平行四邊形？

（2）設四邊形APFE的面積為y（cm2），求y與t之間的函數關係式；

（3）是否存在某一時刻t，使S四邊形APFE：S菱形ABCD=17：40？若存在，求出t的值，並求出此時P，E兩點間的距離；若不存在，請說明理由.

．

考點五：函數動點問題                        

1、如圖，已知拋物線y=ax2﹣5ax+2（a≠0）與y軸交於點C，與x軸交於點A（1，0）和點B．（1）求拋物線的解析式；（2）求直線BC的解析式；          （3）若點N是拋物線上的動點，過點N作NH⊥x軸，垂足為H，以B，N，H為頂點的三角形是否能夠與△OBC相似？若能，請求出所有符合條件的點N的坐標；若不能，請說明理由

             

2、已知：拋物線l1：y=﹣x2+bx+3交x軸於點A，B，（點A在點B的左側），交y軸於點C，其對稱軸為x=1，拋物線l2經過點A，與x軸的另一個交點為E（5，0），交y軸於點D（0，﹣5/2）．                  

（1）求拋物線l2的函數表達式；                                                              

（2）P為直線x=1上一動點，連接PA，PC，當PA=PC時，求點P的坐標；                 

（3）M為拋物線l2上一動點，過點M作直線MN∥y軸，交拋物線l1於點N，求點M自點A運動至點E的過程中，線段MN長度的最大值

3、如圖，拋物線y=1/2x2+mx+n與直線y=﹣-1/2x+3交於A，B兩點，交x軸與D，C兩點，連接AC，BC，已知A（0，3），C（3，0）．                              （Ⅰ）求拋物線的解析式和tan∠BAC的值；                                       

（Ⅱ）在（Ⅰ）條件下：                                                                          

（1）P為y軸右側拋物線上一動點，連接PA，過點P作PQ⊥PA交y軸於點Q，問：是否存在點P使得以A，P，Q為頂點的三角形與△ACB相似？若存在，請求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．         

（2）設E為線段AC上一點（不含端點），連接DE，一動點M從點D出發，沿線段DE以每秒一個單位速度運動到E點，再沿線段EA以每秒根號2個單位的速度運動到A後停止，當點E的坐標是多少時，點M在整個運動中用時最少?

4、如圖，在直角坐標系中，Rt△OAB的直角頂點A在x軸上，OA=4，AB=3．動點M從點A出發，以每秒1個單位長度的速度，沿AO向終點O移動；同時點N從點O出發，以每秒1.25個單位長度的速度，沿OB向終點B移動．當兩個動點運動了x秒（0＜x＜4）時，解答下列問題：       

（1）求點N的坐標（用含x的代數式表示）；                                     

（2）設△OMN的面積是S，求S與x之間的函數表達式；當x為何值時，S有最大值？最大值是多少？              

（3）在兩個動點運動過程中，是否存在某一時刻，使△OMN是直角三角形？若存在，求出x的值；若不存在，請說明理由.

5、如圖，過A（1，0）、B（3，0）作x軸的垂線，分別交直線y=4﹣x於C、D兩點．拋物線y=ax2+bx+c經過O、C、D三點．

（1）求拋物線的表達式；

（2）點M為直線OD上的一個動點，過M作x軸的垂線交拋物線於點N，問是否存在這樣的點M，使得以A、C、M、N為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，求此時點M的橫坐標；若不存在，請說明理由；

（3）若△AOC沿CD方向平移（點C在線段CD上，且不與點D重合），在平移的過程中△AOC與△OBD重疊部分的面積記為S，試求S的最大值．

五、專題小結

解決此類與運動、變化有關的問題，重在運動中分析，變化中求解．

首先，要把握運動規律，尋求運動中的特殊位置，在「動」中求「靜」，在「靜」中探求「動」的一般規律．

其次，通過探索、歸納、猜想，獲得圖形在運動過程中是否保留或具有某種性質，要用運動的眼光觀察出各種可能的情況分類討論，較為精確地將每種情況一一呈現出來．再次，要學會將動態問題靜態化，即將動態情境化為幾個靜態的情境，從中尋找兩個變量間的關係，用相關字母去表示幾何圖形中的長度、點的坐標等，很多情況下是與三角形的相似和勾股定理等聯繫在一起的，在整個解題過程中，要深刻理解分類討論、數形結合、化歸、相似等數學思想.