「無窮」的思想瑰麗無比，令數學家們痴迷與嚮往，卻又無力深刻地理解和把握它，這一直是人類在思想上所面臨的尖銳挑戰。
早在兩千多年以前，古希臘的數學家阿基米德開始計算「無窮大」的數目，他所用的方法，居然與 19世紀的「微積分」與「集合論」極為相似，這是人類有史以來明文記載的偉大的「無窮」思想。
19世紀由於「分析的嚴格化」和「函數論的發展」，數學家們對「無理數理論」、「不連續函數理論」進行了深入的研究，這為康託爾「集合論」的產生奠定了重要的「思想基礎」。
1870年，康託爾開始研究「三角級數」，並由此導致19世紀末、20世紀初最偉大的數學成就——「集合論」的建立。
康爾託受「魏爾斯特拉斯」的直接影響，對「嚴格的分析」理論進行了深入地研究，不久便獲得了一系列重大的成果。
他首次證明了「複合變量函數三角級數展開的唯一性」，繼而用「有理數列極限」定義無理數。
三角級數也常稱為「傅立葉級數」，康託爾在尋找「函數」展開為「三角級數」表示的「唯一性判別準則」的研究中，認識到了「無窮集合」的重要性，並開始進行深入的研究，證明它即使在「有限個間斷點」處「不收斂」，定理仍然成立。
1872年，康託爾把「唯一性」的結果推廣到允許「例外值」是某種「無窮的集合」情形。為了描述這種集合，他首先定義了「點集的極限點」，然後引進了「點集的導集」和「導集的導集」等重要概念。
這是從「唯一性」問題的探索向「點集論」研究的開端，為「點集論」的誕生奠定了重要的理論基礎。
為了將「有窮集合」的元素個數的概念推廣到「無窮集合」，康託爾以「一一對應」為原則，提出了「集合等價」的重要概念。第一次對各種「無窮集合」按照它們元素的「多少」進行了分類。
於是，康託爾引進了「可列」這個概念，把凡是能和正整數構成「一一對應」的任何一個集合都稱為「可列集合」。
1874年，康託爾證明了「有理數集合」是「可列」的，後來他還證明了所有的「代數數」的全體構成的「集合」也是可列的。
然而不久之後，康託爾得出了一個出乎意料的結論，他發現「實數集合」是不可列的。
由於實數集合「不可列」，而「代數數集合「可列」，康託爾憑著敏銳的直覺，預言了「超越數集」的存在，而且堅信「超越數」的數量將大大地多於「代數數」。
同年，康託爾又構造了「實變函數論」中著名的「康託爾集」，給出了「測度為零」的「不可數集」的一個例子。
康託爾還巧妙地將「一條直線上的點」與「整個平面的點」一一對應起來，甚至可以將「直線」與整個「n維空間」中的點進行「一一對應」。
至此，康託爾將「無窮」的概念發揮到了極至。
「無窮概念」的提出，為數學的發展開闢了一片廣闊的新天地，使「集合論」成為了「近代數學大廈」的基礎。
但是其誕生之初的「不完備」性，導致了一些看似「微不足道」的問題偶爾出現，這些問題不斷地日積月累。
終於，隨著「羅素悖論」的提出，第三次數學危機徹底爆發了，康託爾成為了數學界各大名流的眾矢之的，對他展開了猛烈的抨擊，這些人當中，德國數學家「克羅內克」的言辭最為激烈，攻擊時間長達10年之久。
「數學的本質就在於它的自由。」——這是康託爾的信條。他一生孤獨行走在追求真理的道路上，追求著他所嚮往的「無窮」與自由之美，幾乎是憑著他的一己之力，完成了數學關於「無窮」概念的革命。
然而，薪水微薄的康託爾，最終耗儘自己的全部心血，也無法完全解決「集合論」出現的各種問題，他那顆追求完美的心最終無法接受這一切，終於徹底地崩潰了。
然而，真理越辨越明，「集合論」經過不斷地完善，其重要性最終得到了數學界的普便肯定，成為了「近代數學」牢固的基礎。
著名的數學家「希爾伯特」用堅定的語言向他的同代人宣布：「沒有任何人能將我們從康託爾所創造的伊甸園中驅趕出來」。
當我們在學習「集合」概念的時候，向康託爾這位勇敢的先行者致以崇高地敬意吧！
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