（一）集合論的誕生
集合論是德國著名數學家康託爾（Cantor，1845-1918）於19世紀末創立的。他對集合所下的定義是把若干確定的有區別的（不論是具體的或抽象的）事物合併起來，看作一個整體，就稱為一個集合，其中各事物成為該集合的元素。
（二）集合論的發展
到20世紀初，集合論已得到數學家們的認可，他們樂觀地認為，從算術公理系統出發，藉助集合論的概念，便可以建造起整個數學大廈，但羅素悖論的提出指出了集合論的漏洞。
羅素（B.Russell，1872-1970）構造了一個所有不屬於自身（既不包含自身作為元素）的集合R，現在問R是否屬於R？如果R屬於R，則R滿足R的定義，因此R不應屬於自身，即R不屬於R。另一方面，如果R不屬於R，則R不滿足R的定義。因此R應屬於自身，即R屬於R。這樣不論何種情況都存在著矛盾。
這個僅涉及集合和屬於兩個最基本概念的悖論，如此簡單明了，以致根本留不下為集合論漏洞辯解的餘地，絕對嚴密的數學陷入了自相矛盾之中，這就是數學史上的第三次數學危機，危機產生後，眾多數學家投入到解決問題的工作中去。
1908年。策梅洛（E.Zermelo，1871-1953）提出公理化集合論，後經改進，形成無矛盾的集合論公理系統，簡稱ZF公理系統。原本直觀的集合概念被建立在嚴格的公理基礎之上，從而避免了悖論的出現，這就是集合論發展的第二個階段：公理化集合論。
與此相對應，由康託爾創立的集合論被稱為樸素集合論。公理化集合論是對樸素集合論的嚴格處理。