集合論的發展史

新高一，數學第一章就是集合，集合是什麼呢？為什麼要產生集合呢？學習它有什麼意義嗎？我們來看下文：

集合是什麼，通俗地說它是一些元素組成的集體，是一些確定而又可分的「物」的集體。集合併不指具體的「物」，而是由物的集體所組成的新對象。

20世紀以來的研究表明，不僅微積分的基礎——實數理論奠定在集合論的基礎上，而且各種複雜的數學概念都可以用「集合」概念定義出來，而各種數學理論又都可以「嵌入」集合論之內。因此，集合論就成了全部數學的基礎，而且有力地促進了各個數學分支的發展。現代數學幾乎所有的分支都會用到集合這個概念。

集合論最重要的創建者是康託爾（Georg Cantor，1845—1918）。

在19世紀人們很少懷疑微積分的基礎應該建立在嚴密的實數理論上，而嚴密的實數理論可以由集合論推出。但是微積分本質上是一種「無限數學」。那麼無限集合的本質是什麼？它是否具備有限集合所具有的性質？

從19世紀60年代起，法國數學家康託爾承擔了這一工作，他清楚地看到以往數學基礎中的問題，都與無窮集合有關。康託爾的集合論的建立，不僅是數學發展史上一座高聳的裡程碑，甚至還是人類思維發展史上的一座裡程碑。它標誌著人類經過幾千年的努力，終於基本上弄清了無限的性質，找到了制服無限「妖怪」的法寶。

蘇聯著名數學家柯爾莫戈洛夫說：「康託爾的不朽功績在於向無限冒險邁進。」德國數學大師伯特讚揚康託爾的理論是「數學思想最驚人的產物，在純粹理性的範疇中人類活動最美的表現之一」。

然而事情並非總是順利的。1900年左右，正當康託爾的思想逐漸被人接受，並成功地把集合論應用到了許多別的數學領域中去，大家認為數學的「絕對嚴格性」有了保證的時候，一系列完全沒有想到的邏輯矛盾，在集合論的邊緣被發現了。開始，人們並不直接稱之為矛盾，而是只把它們看成數學中的奇特現象。

1903年英國哲學家兼數學家羅素（Russell,B.A.W,1872—1970）提出了一個悖論，「一切不包含自身的集合所形成的集合是否包含自身？」答案如果說是，即包含自身，屬於這個集合，那麼它就不包含自身；如果說否，它不包含自身，那麼它理應是這個集合的元素，即包含自身。

可能有人看不懂羅素悖論，沒關係，羅素本人就用通俗的「理髮師悖論」作了比喻；理髮師自稱，他給所有自己不刮鬍子的人刮鬍子，但不給任何自己刮鬍子的人刮鬍子。試問理髮師該不該給自己刮鬍子？如果他從來不給自己刮鬍子，就屬於「自己不刮鬍子的人」。根據他的自稱，他就應該給自己刮鬍子，但是，一旦他給自己刮鬍子，他就成了「自己刮鬍子的人」了。還是根據他的自稱，他就不應該給自己刮鬍子。所以不管理髮師的鬍子由誰來刮，都會產生矛盾。

羅素悖論以其簡單、明確震動了整個西方數學界和邏輯學界，邏輯學家費雷格收到羅素的信之後，在他剛要出版的《算術基礎法則》第二卷末尾寫道：「一位科學家不會碰到比這更難甚的事情了，即在工作完成之時，它的基礎垮掉了。當這本書等待付印的時候，羅素先生的一封信把我置於這種境地。」弗雷格對羅素悖論的迅速反應是驚恐地感到：「算術開始受難。」

數學史上第三次危機來臨了，數學王國的居民們惶惶不安，因為數學家們一貫追求嚴密性，一旦發現他們自稱絕對嚴密的數學的基礎——集合論並不嚴密，竟然出現了「悖論」這種自相矛盾的結果，可以想像，他們是多麼震驚。震驚之餘，數學家們意識到，應當建立某種公理系統來對集合論作出必要的規定，以排除「羅素悖論」和其他有關的「悖論」。現在，各種成功地解決悖論的方案都對集合的「無限擴張」進行了限制，因此現在任何一種形式的集合論，實質上都包含一個「限制大小」的公理。

集合論是現代數學中重要的基礎理論。它的概念和方法已經滲透到代數、拓撲和分析等許多數學分支以及物理學和質點力學等一些自然科學部門，為這些學科提供了奠基的方法，改變了這些學科的面貌。幾乎可以說，如果沒有集合論的觀點，很難對現代數學獲得一個深刻的理解。所以集合論的創立不僅對數學基礎的研究有重要意義，而且對現代數學的發展也有深遠的影響。