教學目標：
A類目標：獨立完成挑戰單，明確圓的周長跟直徑（或半徑）有關，能對圓周長與直 徑的關係進行合理的猜測、驗證。
B類目標：通過課堂對話達成共識：（１）在探索圓周長與直徑的數量關係中，理解圓周率；（２）通過數學實驗，發明圓的周長計算公式。
C類目標：體會數學實驗的價值，激發進一步探索數學（圓周率）的興趣。
第一板塊：自我挑戰，遭遇問題。
課前挑戰：
1.思考：圓的周長跟什麼因素有關？
2.圓的直徑的2倍與圓的周長相比，誰大誰小？為什麼？
3.圓的直徑的4倍與圓的周長相比，誰大誰小？為什麼？
4.請設計一個實驗方案，猜想並驗證「圓的周長」與「圓的直徑」之間的關係。
5.請提出你感興趣的新問題。
分析：
從學生的挑戰單反饋來看，學生都能直觀感知到圓周長與它的直徑（或半徑）有關，直徑越大，圓周長越長，如何進一步「量化」（精確）圓周長與直徑的關係，圓周長與直徑的比值到底是多少？圓周率為什麼會是一個無限不循環小數？怎樣快速、精確地計算出任意一個圓的周長？這些問題需要對話，需要聚焦，更需要去做數學實驗，去推理……
與得到結果相比，經歷探索過程更美妙。
第二板塊：聚焦問題，展開對話。
師：什麼是圓的周長？你覺得圓的周長跟什麼因素有關？
生1：圓的周長就是圓一周的長度。比如這個圓（手指著圓）最外面一圈曲線的長度就是圓的周長。
生2：同意，並且圓的周長跟它的直徑（或者說半徑）有關，直徑越大，圓的周長就越大。
師（隨即出示挑戰單）：都認同這位同學的說法嗎？
生：認同！
師：圓的周長跟它的直逕到底有什麼關係呢？會不會存在著一種神秘的數量關係？接下來就讓我們來聚焦這種關係，圓周長與直徑的2倍比，誰大誰小？
（出示挑戰單）
生3：我和他猜測的結果一樣，不過他上面的「直徑的2倍是兩條直線」說法有問題，直徑是線段不是直線……
師：那你能不能重新解釋一下。
生3：直徑是一條線段，它有兩個端點，而這兩點之間，圓周長的一半是用曲線在連接，直徑是用線段在連接，我們知道兩點之間線段最短，所以圓周長的一半比直徑要長，整個圓的周長就比兩條直徑（也就是直徑的2倍）要長。
師：哇，太厲害了！好有大師風範，語言嚴謹，邏輯清晰呀。圓周長比它直徑的2倍大，比直徑的4倍呢？
（出示挑戰單）
師：你能讀懂這位同學的說法嗎？
生4：我想問一下，為什麼要在圓的外面畫一個正方形呢？
師：這個問題問的好，誰來解釋一下？
生5：如果在一個圓的外面，緊緊的挨著圓畫一個正方形（外切），那麼這個正方形的四條邊的長度（周長）就是圓直徑的4倍。
生：為什麼？
生5：我們可以看著這個圖，如果在中間橫著畫一條直徑，向上或向下平移，不就和正方形的邊長度一樣嗎？同樣的道理，在豎直方向畫一條直徑，往左或者往右平移，不也是正方形的邊長嗎？
生6：明白了，是不是還可以這樣解釋：正方形對邊互相平行，臨邊互相垂直，在正方形中間畫一條垂線，就是圓的直徑，根據平行線之間的垂線段處處相等，也可以得出這個正方形的周長是圓直徑的4倍。
師：當然也可以這樣解釋了！這個問題搞清楚了，這位同學挑戰單上的解釋你能讀懂嗎？
生7：我能讀懂他的意思了，把圓的「曲邊」平移上去轉換成「直邊」進行比較，發現圓的曲邊化直邊後，正方形邊長仍有剩餘，所以圓的周長比直徑的4倍要短。
師：「化曲為直」這種思想不錯，都認同嗎？（認同！）還有不同意見嗎？
生8：我想給這個同學提點建議，用「A」表示那一段線段的長度有些不合適，應該用兩個字母表示一個線段（一個表示起點，一個表示終點），這樣更好些。
師：接受她的建議嗎？
生：接受！
師：圓周長比它直徑的2倍多，又比它直徑的4倍少，到底是幾倍呢？
生：會不會是3倍？
師：有可能，但怎樣驗證呢？
生9：我們可以測量出一個圓的周長，再量出它的直徑，用周長除以直徑算一下。
生10：對，我們量一下，算一下，就可以得到準確答案了。
師：看來只能這樣了，可圓的周長應該怎麼量？量幾個能得到我們想要的準確答案呢？這位同學的方案或許可以給我們一些啟示：
生11：我也是這麼想的，在一個圓上找一個點，開始在尺子上滾動一周，再次滾到這個點結束，這個長度就是這個圓的周長。
生12：我覺得只準備（或是只測）一個圓，應該不會太準確，測量還會產生誤差，應該多測一些圓（也可以測圓形物體）。
師：有道理，儘可能減少誤差，多測幾個圓，才可能找到準確的結果，要不大家合作一下，以組為單位，一起來完成這個過程。
生：好，我們合作完成。
師：有結果了嗎？我們一起分享一下吧！
生13：我們組剛才測了一個圓形的瓶蓋，瓶蓋周長為5.8釐米，直徑為2釐米，得出周長是直徑的2.9倍。
師：其他組呢？和他們組結論一樣嗎？
生13：不一樣，我們組測了三個圓形物體分別是瓶蓋、膠帶輪廓、玩具車車輪輪廓，得到三組數據，分別是3.4，2.8，3.375，然後求了這三個數據的平均數3.225，最終我們組得到的結論是圓周長除以直徑的商應該大於3，小於3.5。
生14：我們組也測了好幾組數據，得到的結論是圓周長除以直徑的商應該在2.8和3.1之間。
生：為什麼我們得到的結論都是在3左右，卻沒有一個統一的答案？
師：是呀，為什麼呢？誰來幫大家分析一下原因？
生15：我想我們測量的時候有誤差，有時候差一毫米都會影響結果，還有我們測的圓形物體如果不標準（不是標準的圓），也會影響得到的結論。我覺得我們想得到準確的數據，還需要更精準的測量工具，更標準的圓形物體……
生16：我同意他的說法，但我覺得即使是這樣，圓的周長一定比它的直徑的3倍多，不可能小於3倍……
師：為什麼？你這樣說的依據是什麼？
生17：因為我之前看過一本書，說如果在一個圓裡畫一個（內接）正六邊形，把圓心與正六邊形的頂點連起來，就可以得到6個正三角形，而正三角形每條邊的長度就是圓的半徑，這樣的話正六邊形的周長就是圓的6個半徑，也就是3個直徑，很明顯正六邊形的周長並沒有圓的周長呀（每兩個端點間線段短，曲線長），也就是說圓的周長一定比它直徑的3倍多，不可能比它的3倍小……
生：好像說的有道理！
師：呵呵，不是好像有道理，是確實有道理！在我國古代（魏晉時期）有一位傑出的數學家劉徽就是用這種方法，在圓中畫內切正多邊形的方法（也被稱為「割圓術」）求圓周長與直徑的倍數關係，他最終一直算到了圓內接正192邊形，得到圓周長是直徑的3.14倍……
生18：太牛了！
師：再後來到了南北朝時期，我國又出現了一個數學牛人——祖衝之，他把圓周長與直徑的商精確到了3.1415926和3.1415927之間，這一成就在世界上領先其它國家大約1000年。值得我們國人驕傲和自豪，也讓我們記住這個牛人的名字。
生19：難道圓周長與它直徑的商是一個無限的小數？
師：是的，這個小數不僅無限，還不循環，特神奇！即使是現在，用最精密的測量儀器，電子計算機來計算，可以精確計算到小數點後面12411億位，也沒算完呀！
生：哇！太厲害了！太神奇了！
師：是呀，圓的周長除以直徑的商是一個固定的數，這個數還是個無限不循環小數，人們還專門給它起了個名字，叫「圓周率」，用字母「π」來表示。
生20：是不是有了這個數，我們以後要算圓的周長就可以快速的計算出來？但是這個數應該說是圓周率是個無限不循環小數，我們該怎麼算？
師：根據實際需要，我們通常計算時，取它的近似值（保留兩位小數）3.14。
生21：那是不是我們要計算一個圓的周長，直接量出直徑乘上3.14（π）就可以求出來了。
師：是的，根據我們的發現和達成的共識，我們就可以解決這一類的問題了。
生22：圓周長就等於直徑乘上圓周率。
師：用字母也可以表示為：C=πd
第三板塊：基於共識，拓展延伸。
師：誰能把我們剛才發現的規律（公式），再變換成兩個關係式？
生23：根據C=πd，也可以得到：C÷d=π或C÷π=d。
師：如果只知道圓的半徑，能不能計算出圓的周長？
生24：當然可以，半徑乘2不就是圓的直徑嗎，然後再乘上圓周率就可以求出圓的周長。也可以用字母表示C=2rπ。
師：確實是這樣的，不過既然我們已經知道了「π」是一個固定的數，那麼數與字母在相乘時，按照我們的習慣通常把數字放在前面，字母放在後面，就成了C=2πr。
生25：根據C=2πr也可以再得到幾個等量關係式：C÷r=2π，C ÷π=2r，C÷2π=r 。
師：對的，接下來就用我們達成的共識，解決一些實際問題吧！
課堂練習：
1、一個圓的半徑是5m，求它的周長。
2、一個圓的周長是50.24dm，求它的直徑和半徑。
編輯：璐瑤
校對：趙靜、田瑞潔
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