探究目標
1．能正確求圓的周長、弧長和扇形的周長，會求組合圖形的周長。
2．能夠運用作圖的方法解決平面圖形在運動過程中某個點經過的軌跡長度。
3.能抓住題目中問題的本質，建立所求問題和所學知識之間的聯繫，以便解決問題。
4．了解圓的周長在生活中的應用，初步培養運用數學知識解決實際問題的能力。
探究過程 參與一下「做數學」的過程，樂趣盡在其中哦！
例 有一天，老鼠傑瑞遇到貓湯姆，傑瑞撒腿就跑，湯姆緊緊追趕，這時傑瑞跑到一個圓形池塘邊，連忙跳進水中。湯姆在岸上盯著傑瑞，在池邊跟老鼠跑，準備在傑瑞上岸時抓住他。已知湯姆的速度是傑瑞的2.5倍，傑瑞有沒有辦法在他遊上岸時，不被湯姆抓住？
建議：1.畫出一個示意圖，藉助示意圖進行分析。
2．藉助字母進行分析。
3．要幫助傑瑞想好逃生的策略：儘可能拉大和湯姆之間的距離，然後向貓的相反方向逃生。
討論：1．如果老鼠沿著池塘遊，伺機上岸，那麼無論老鼠遊到哪兒，貓都會跟著跑，只要老鼠一上岸，就會被貓抓住。
2．如果老鼠跳下水後，沿著池塘的直徑遊，貓要跑半個圓才能到達對面，貓跑的路程是老鼠的1.57倍，而貓的速度是老鼠的2.5倍，那麼等老鼠上岸時，貓已經在岸邊等候了，老鼠還是跑不了。
3．老鼠先遊到池塘的中心，看準貓的位置，然後向和貓相反的方向遊，可以逃生。
證明：老鼠在O點，貓在A點，老鼠遊向B點，距離是半徑，而貓要跑圓周長的一半，圓周長的一半是半徑的3.14倍，而貓的速度只有老鼠的2.5倍，所以當貓跑過來時，老鼠已經順利逃生。
例1 (2003·廣東省部分市縣小學六年級數學競賽試題)已知AB＝120米，BC＝70米(如下圖)，從A到C有3條不同的半圓弧線路可走，請你判斷走哪一條半圓弧線路的距離最短？
[完全解題] 可以分別計算三條線路的長度, 再進行比較。
線路①：(120＋70)÷2＝95(米)
線路②：(120＋70)÷2×＝95(米)
線路③：120÷2＋70÷2＝95(米)
所以三條線路一樣長。
[技法點睛] 這道競賽題實際是下題的變式題，將下題的思路作一介紹會有利於同學們對例題的理解。
下圖中大圓的周長與大圓中四個小圓周長的和相比，誰大？
設大圓的直徑為D，四個小圓的直徑分別是d1、d2、d3、d4，則有D＝d1＋d2＋d3＋d4。
因為大圓的周長為：C＝D
四個小圓周長的和為：C＝d1＋d2＋d3＋d4
＝（d1＋d2＋d3＋d4）
＝D
所以大圓的周長與四個小圓周長的和相等。
再看例題，事實上不需計算就可以判斷出三條線路一樣長。
例2 一個半圓形紙片的周長是20.56釐米，它的直徑是多少釐米？
[完全解題] 本題可以考慮用方程來解答。
設半圓形紙片的直徑是x釐米。
3.14×x×1/2＋x＝20.56
1.57x＋x＝20.56
2.57x＝20.56
x＝8
答：它的直徑是8釐米。
[技法點睛] 解答這個問題有不同的思考方法，利用字母分析可以發現半圓形周長與直徑之間的倍數關係，分析如下：
即半圓形周長是半徑的5.14倍，是直徑的2.57倍，對於例題而言，可以用20.56÷2.57＝8(釐米)，求得答案。
相對而言，用方程解答這類問題更具有一般性，適用的範圍也更廣些。例如已知一個圓心角是30度的扇形的周長是7.57釐米，求半徑是多少釐米，用方程解答的思路就比較容易。
設半徑長x釐米。
答：半徑是3釐米。
例3 (2002·小學數學奧林匹克預賽試題)在下圖中，陰影部分的周長是多少釐米？(取3.14。)
[完全解題] 首先分析陰影部分的周長是由以下部分組成的：
①直徑為36釐米的圓周長的一半；
②半徑為36釐米、圓心角為30°所對的弧的長度；
③長度為36釐米的線段。
分別求出各段的長度，再相加。
36×3.14÷2＝56.52(釐米)
36×3.14×2×33600＝18.84(釐米)
56.52－1－18.84＋36＝111.36(釐米)
答：陰影部分的周長是111.36釐米。
[技法點睛] 求陰影部分的周長首先將組成陰影的各個部分的邊線找出，把邊線分為兩類：弧和線段。分別求出各個邊線的長度再相加就可求得陰影部分的周長。
例4 (2003·「《小學生數學報》」杯「江蘇省第三屆小學生探索與應用能力競賽試題」)下圖中有6個完全相同的圓，其中A、B、C、D、E被固定在玻璃桌面上，第6個圓F緊貼著A、B、C、D、E這5個固定圓慢慢地沿順時針方向滾動，滾動過程中不發生任何滑動。當圓F再滾回到出發點P時，它自身繞圓心旋轉了多少圈？
[完全解題] 重點是分析圓F在繞圓B、C、D、E、A滾動時，分別滾動了的圈數。
[技法點睛] 通過實物演示，畫圖等方式可以直觀地看到圓F的運動過程，這是在解決關於圓的運動的有關問題時常用的方法。
例5 地球的赤道是個近似的圓形，赤道的半徑約6371千米，假設有一根繩子沿地球赤道貼緊地面繞一周，現在將繩長增加6.28米，使繩子與地面之間有均勻的縫隙，請問縫隙有多寬？一隻高4釐米的蝸牛能否從該縫隙間爬過？
[完全解題] 先將本題的題意整理一下：將赤道和繩子所圍成的圓看成兩個大小不同的圓，這兩個圓組成了一個圓環，內圓半徑是6371千米，外圓周長比內圓周長多6.28米，求環寬。如下圖：
當然可以先算出內圓周長，再算出外圓周長，就可以求出外圓半徑，環寬也就可以求出來了。
這種方法的缺點是計算量大，過程繁雜，並且容易算錯。
有簡單的方法嗎？可以藉助字母來試一試。
設內圓半徑為r，環寬為x，根據題意得：
2×(x＋r)－2r＝6.28
2x＋2r－2r＝6.28
2x＝6.28
x＝1
解答過程簡單明了，計算簡潔。解答的結果也使我們大吃一驚，如此大的一個環形，外圓周長僅比內圓周長多6.28米，環寬竟達到1米！也就是說，繩子距地面1米高，別說是蝸牛，即使是人，也可以很從容地彎腰走過去。
[技法點睛] 上面的解答過程對同學們有兩點啟示：
1.巧妙地利用字母進行分析，進行解答，過程簡潔、優美，感受到數學的魅力。
2．當已知環形內、外圓的周長差時，就可以求出環寬。環寬與內、外圓的周長差有關。
當環寬為1釐米時，內、外圓的周長相差6.28釐米；
當環寬為2釐米時，內、外圓的周長相差12.56釐米；
當環寬為3釐米時，內、外圓的周長相差18.84釐米；
內、外圓的周長差是環寬的2倍。
例6 一條直線上放著一個長方形1，它的長與寬分別是4釐米和3釐米，對角線長5釐米。讓這個長方形繞頂點A順時針旋轉90度到達長方形2的位置，此時D點到達了E點的位置。再讓長方形2繞頂點E順時針旋轉90度到達長方形3的位置，此時C點到達了F點的位置。再讓長方形3繞頂點F順時針旋轉90度到達長方形4的位置，此時B點到達了G點的位置。再讓長方形4繞頂點G順時針旋轉90度到達長方形5的位置，此時長方形1的A點到達了H點的位置。求A點所經過的總路程。
[完全解題] 從長方形1到長方形2，A點的位置沒有變化。
從長方形2到長方形3，A點經過的路程是半徑3釐米、圓心角為90度的弧的長度。
從長方形3到長方形4，A點經過的路程是半徑5釐米、圓心角為90度的弧的長度。
從長方形4到長方形5，A點經過的路程是半徑4釐米、圓心角為90度的弧的長度。
根據公式，分別求出三段弧的長度，再相加就可以求出問題。
答：A點經過的總路程是18.84釐米。
[技法點睛] 研究物體運動過程中的周長、弧長問題時，首先要通過實驗來觀察物體在運動過程中的位置變化，然後在圖形中用圓規畫出該點的運動軌跡，最後求出題目的所求問題。
例7 (2002·重慶市沙坪垻區小學六年級數學競賽試題)兩根同樣長的鐵絲，一根圍成正方形，一根圍成圓(都不計接頭)，結果正方形的邊比圓的半徑長3(－2)米。兩根鐵絲共長多少米？
[完全解題] 由於正方形和圓是用兩根同樣長的鐵絲圍成的，因此正方形和圓的周長相等。以此為等量關係，可以列方程解答。
答：兩根鐵絲共長75.36米。
[技法點睛] 解題思路要靈活，利用題目中的等量關系列方程解決問題是常用的解題方法。
例8 如下圖，一個半徑1釐米的硬幣沿著長方形紙板的邊緣滾動，長方形紙板長30釐米，寬20釐米，當硬幣滾回原來位置時，硬幣的圓心經過的路程是多少釐米？
[完全解題] 當硬幣沿紙板的長邊或寬邊滾動時，圓心經過的路程是條線段；當硬幣沿長方形的四個頂點轉動時，圓心經過的路程是四條弧。
四條線段的長度總和相當於長方形紙板的周長。四條弧拼在一起，恰好可拼成一個半徑為1釐米的圓，只要求出圓周長就相當於求出四條弧的長度總和。
(30＋20)×2＝100(釐米)
3.14×1×2＝6.28(釐米)
100＋6.28＝106.28(釐米)
答：硬幣的圓心經過的路程是106.28釐米。
[技法點睛] 解答該類問題的第一步是得到圓心經過的軌跡，然後將軌跡進行分類並分析每類軌跡的長度如何求出，最後進行解答。
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