希臘史9：數學之父畢達哥拉斯殺死發現無理數學生，引發數學危機

　　大家也許對畢達哥拉斯這個名字陌生，但是大家一定聽說過勾股定理。《周髀算經》記載公元前十一世紀，漢朝的高商提出了「勾三股四弦五」。而在古希臘的畢達哥拉斯也發現了這一定理，並將其驗證，因此西方把勾股定理被稱為畢達哥拉斯定理。本文就講講畢達哥拉斯定理的主人公畢達哥拉斯。

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　　畢達哥拉斯（Pythagoras，約前580年-約前500年），古希臘數學家、哲學家。畢達哥拉斯將數學和哲學結合在一起，創立以數學為本原的學派——畢達哥拉斯學派，亦稱「南義大利學派」。從他開始，希臘哲學開始產生了數學的研究，被尊稱為「數學之父」。畢達哥拉斯用數學研究樂理，由此所產生的「和諧」的概念。他認為數學可以解釋世界上的一切事物，對數字痴迷到幾近崇拜；同時認為一切真理都可以用比例、平方及直角三角形去反映和證實。在宇宙論方面他認為存在著許多但有限個世界，並堅持大地是圓形的。在數學上，畢達哥拉斯被認為是勾股定理的發現者，在西方，勾股定理被稱為畢達哥拉斯定理，對數學發展影響重大。

一、畢達哥拉斯生平

薩摩斯島位置圖（紅圈處）

　　公元前580年，畢達哥拉斯出生在米利都附近的薩摩斯島（Samos）。薩摩斯島在愛琴海東部，是愛琴海中距小亞細亞大陸最近的希臘島嶼，和小亞細亞只隔窄狹的薩摩斯海峽，島上有畢達哥拉斯紀念館。

　　畢達哥拉斯的父親是一個富商，九歲時被父親送到提爾，在閃族敘利亞學者那裡學習，在這裡他接觸了東方的宗教和文化。以後他又多次隨父親作商務旅行到小亞細亞。

　　公元前551年，畢達哥拉斯來到米利都、得洛斯等地，拜訪了泰勒斯、阿那克西曼德和菲爾庫德斯，並成為了他們的學生。在此之前，他已經在薩摩斯的詩人克萊非洛斯那裡學習了詩歌和音樂。

　　公元前550年，30歲的畢達哥拉斯因宣傳理性神學，穿東方人服裝，蓄上頭髮從而引起當地人的反感，從此薩摩斯人一直對畢達哥拉斯有成見，認為他標新立異，鼓吹邪說。畢達哥拉斯被迫於公元前535年離家前往埃及，途中他在腓尼基各沿海城市停留，學習當地神話和宗教，並在提爾一神廟中靜修。

　　抵達埃及後，國王阿馬西斯推薦他入神廟學習。從公元前535年到公元前525年這十年中，畢達哥拉斯學習了象形文字和埃及神話、歷史和宗教，並宣傳希臘哲學，受到許多希臘人尊敬，有不少人投到他的門下求學。

　　畢達哥拉斯在49歲時返回家鄉薩摩斯，然後又去了克裡特島，在那裡他用很短的時間研究了法律制度。在薩莫斯島，他建立了一所學校，他把該學校命名為「半圓」（Semicircle）。

畢達哥拉斯主要活動地點

　　約公元前520年，畢達哥拉斯與母親和唯一的一個門徒離開薩摩斯，移居西西里島，後來定居在克羅託內（Crotone）。在那裡他廣收門徒，建立了畢達哥拉斯學派。他的演講吸引了各階層的人士，很多上層社會的人士來參加演講會。按當時的風俗，婦女是被禁止出席公開的會議的，畢達哥拉斯打破了這個成規，允許她們也來聽講。熱心的聽眾中就有他後來的妻子西雅娜，她年輕漂亮，曾給他寫過傳記，可惜已經失傳了。

　　約公元前508年，畢達哥拉斯學派在克羅託內的活動場所遭到了嚴重的破壞。畢達哥拉斯被迫移居他林敦（今義大利南部塔蘭託），並於公元前500年去世，享年80歲。許多門徒逃回希臘本土，在弗利奧斯重新建立據點，另一些人到了塔蘭託，繼續進行數學哲學研究，以及政治方面的活動，直到公元前4世紀中葉。畢達哥拉斯學派持續繁榮了兩個世紀之久。

二、畢達哥拉斯的主要觀點和成就

　　（1）數本原說

　　從畢達哥拉斯開始，希臘哲學開始產生了數學的傳統。畢達哥拉斯通過對數學的研究，發現數量關係是事物的共同基礎，因為一切事物的性質都可以歸結為數的規定性。於是，把「數」這種不具形體的、普遍的、抽象的東西看作萬物的本原。畢達哥拉斯認為整個宇宙是數及其關係的和諧的體系。畢達哥拉斯將數神秘化，說數是眾神之母，是普遍的始原，是自然界中對立性和否定性的原則。而且，他還提出了自己的理論體系。比如畢達哥拉斯學派認為「1」是數的第一原則，萬物之母，也是智慧；「2」是對立和否定的原則，是意見；「3」是萬物的形體和形式；「4」是正義，是宇宙創造者的象徵；「5」是奇數和偶數，雄性與雌性和結合，也是婚姻；「6」是神的生命，是靈魂；「7」是機會；「8」是和諧，也是愛情和友誼；「9」是理性和強大；「10」包容了一切數目，是完滿和美好。是不是跟老子的「道生一，一生二，二生三，三生萬物」不謀而合？

　　（2）地圓說

　　在宇宙論方面，畢達哥拉斯結合了米利都學派以及自己有關數的理論。他認為存在著許多但有限個世界，並堅持大地是圓形的，不過則拋棄了米利都學派的地心說。地圓說是一種認為大地是球形的理論，畢達哥拉斯第一次提出大地是球體這一概念。這在當時的認知水平下是不可思議的，打破了當時主流「天圓地方、天蓋地承」的傳統認知。

　　（3）宇宙結構說

畢達哥拉斯學派提出的宇宙結構圖

　　畢達哥拉斯學派認為，我們生活在一系列的「同心球」之中，一環套一環。行星鑲嵌在天球之上，跟隨天球運轉。最中心的位置是「中心火」，然後由裡往外是對地、地球、月亮、太陽、金星、水星、火星、木星、土星、恆星天（即天球）。這種「地球-天球」模式的宇宙構圖，形成了古希臘人的基本天文常識。後來運算術、幾何來計算天體運動規律，都是在這個模式下計算的。隨著觀測數據越來越豐富，計算結果越來越超出意外，人們對這個框架修修補補，終於在兩千多年的積累中，迎來了哥白尼革命。

　　（4）證明畢達哥拉斯定理

勾股定理示意圖

　　畢達哥拉斯本人以發現畢達哥拉斯定理（勾股定理）著稱於世。在中國古代大約是公元前2到1世紀成書的數學著作《周髀算經》中假託商高同周公的一段對話。商高說：「…故折矩，勾廣三，股修四，經隅五。」以後人們就簡單地把這個事實說成「勾三股四弦五」。這就是中國著名的勾股定理。這定理早已為巴比倫人所知，不過最早的證明大概可歸功於畢達哥拉斯。他是用演繹法證明了直角三角形斜邊平方等於兩直角邊平方之和，即畢達哥拉斯定理。

　　在幾何學方面，畢達哥拉斯學派證明了「三角形內角之和等於兩個直角」的論斷；研究了黃金分割；發現了正五角形和相似多邊形的作法；還證明了正多面體只有五種——正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體和正二十面體。

　　（5）發現黃金分割

《蒙娜麗莎的微笑》中的黃金分割

　　畢達哥拉斯是世界上第一個發現黃金分割理論的。黃金分割是指將整體一分為二，較大部分與整體部分的比值等於較小部分與較大部分的比值，其比值約為0.618。黃金數被冠為「最優雅的比例節奏」的美稱，在現實中有很多體現。人類自身的身體從肚臍到腳底的高度與身高的比為黃金數；埃及金字塔的底面邊長與高的比為黃金數；我們在拍照的時候如果站在黃金分割點，就會比較協調。

　　（6）五度相生律

五度相生律

　　與宇宙間天體運行相似的是，畢達哥拉斯將一條弦固定，通過不同的比例區分整體與部分間的距離，結果發現：弦長比為2：1時，則發出相隔八度的兩個高音；當弦長之比為4：3、3：2時，則發出純五度、純四度的音程關係，這種數量關係，是對樂音組成的原初認識，即和諧的最簡單的形式。畢達哥拉斯用這種方法創造了一套互相有明確數學關係的音律，被稱作五度相生律。這套定律不僅成為了畢達哥拉斯學派各種藝術活動中的基石，也流傳至後世一直影響著現代的音樂理論。

三、第一次數學危機

無理數的發現

　　畢達哥拉斯堅信，世界上的數字均可以用整數或者整數之比（即分數）來表示。但是畢達哥拉斯的學生之一希帕索斯(Hippasus)卻發現，若根據勾股定理計算邊長為1的正方形的對角線，其值（√2）不能用任何一個整數之比來表示，這是人類發現的第一個無理數。這一發現觸犯了畢達哥拉斯學派的信條，希帕索斯後被畢達哥拉斯投海溺斃。這次事件被稱作數學歷史上的第一次危機，它否定了一切數都是有理數的結論。直到18至19世紀，關於微積分嚴格性的討論才對第一次數學危機給出了解答。

四、名人名言

　　（1）數學支配著宇宙。

　　（2）不能制約自己的人，不能稱之為自由的人。

　　（3）友誼是一種和諧的平等。

　　（4）要這樣生活；使你的朋友不致成為仇人，使你的仇人卻成為朋友。

　　（5）憤怒以愚蠢開始，以後悔告終

　　（6）別的動物也都具有智力、熱情，理性只有人類才有。

　　（7）在數學的天地裡，重要的不是我們知道什麼，而是我們如何知道什麼。

　　（8）哪裡酗酒成風，哪裡就無法無天。

　　（9）選擇最好的，習慣會使它變得容易。

　　（10）不要忽視你的身體的健康，飲、食、動作須有節。

　　（11）只有神才是智慧的，任何人都不是。

　　（12）不善拒絕，會使你經常成為一個不情願的精神奴隸。

　　（13）靈魂的理性部分是不死的。