七年級數學(上冊).第四章.有理數的乘方(上)

七年級數學（上）

第四章

有理數的乘方（上）

 

大家好，我是書菌。本章我們要學習整個有理數單元最難的一個章節，有理數的乘方。本期我們學習內容眾多，而且還會有道超難題等著我們挑戰，因此我會把簡單的知識點一帶而過。

Pay attention!

 

首先來講講乘方的定義：求n個相同因數乘積的運算叫做乘方，乘方的結果叫做冪(power)。n個相同的a相乘，即a.a.a.a.…….a,記作aⁿ，讀作「a的n次冪」或「a的n次方」，其中，a叫做底數(basenumber)，n叫做指數(exponent)。

Eg.

94中，底數為9，指數為4，讀作「9的四次方」或者「9的4次冪」。

 

了解了乘方的定義，我們把其帶入實際運算中試一試吧！

運算前，書菌先提幾句。一個數的幾次方，就相當於那個數連乘。同一個數相乘，結果數字部分為那幾個數數字部分的乘積，那如何定號呢？那就得掌握以下運算定理：
1.正數的任何次冪數都是正數。

2.負數的奇數次冪是負數，負數的偶次冪是正數，奇負偶正。

重點關注對象：

（1）0的任何奇數次冪都是0，；1的任何次冪都是1,；-1的任何奇次冪都是-1，-1任何偶次冪都是1。

（2）平方等於它本身的數只有0和1，立方等於它本身的數只有0和±1；

（3）互為相反數的兩個數的偶次冪相等，奇次冪仍互為相反數；

Eg.   

a2n=(-a)2n

 

以上定理都是很好理解的，用乘法運算法則都可以解釋。那我們來做幾道小題來測試一下這幾個運算定理你的掌握程度。

例1:（1）（-0.2）3     

      （2）-33/4

     （3）(-3/4)3

5 minutes later……

第（1）題很簡單，首先定號，冪為奇次冪，符號為負；其次，數字部分是0.23，為0.008。具體過程如下：

（1）（-0.2）3 

解：（-0.2）3=（-0.2）×（-0.2）×（-0.2）=-0.008

第（2）題首要的是先仔細審題，它和第（3）題很相似，但你要去發現兩者之間的區別，你會發現，它們的指數都是3，然而第（2）小問3針對於分子3，而第（3）小問是針對分數整體。那麼現在問題就簡單了。

（2）-33/4

解：-33/4=-（3×3×3）÷4=-27/4

（3）(-3/4)3

解：(-3/4)3=（-3/4）×（-3/4）×（-3/4）=-27/64

 

三題都搞定了，說明你對基本的乘法運算已經掌握得很牢靠了，學習完乘方，我們有理數的所有運算種類也都講完了，那麼，我們下面就看看有理數的混合運算。

 

回顧一下，通常我們把代數運算分為三級，第一級運算是加和減，第二級運算是乘和除，第三級運算是乘方。按照運算順序，先算高級運算看，再算低級運算，同級運算若在一起，按從左到右的順序計算。同時注意，如果有括號，先做括號裡面的運算，按小括號、中括號、大括號依次運算。

 

混合運算中，我們主要講的是簡便運算，其餘運算靠以上法則即可。說道簡便運算，加、減、乘、除的簡算，相信大家在小學階段就已掌握，那麼這次我們就來看看乘方的簡便運算。但首先我們要先講講乘方運算的基本公式，其很類似乘法分配律，但與其還略有差別。

anbn由組成，也就是n個a與n個b，若使一個a與一個b為一組，則共有n組，則anbn=（ab）n 則同理anbncn=（abc）n,運用此公式，我們可以解決之後幾個問題。

請看例2

例2：

（1）（-0.125）2018×82019

（2）

[73-6×(-7)2-(-1)10]÷(-214-24+214)

給大家5 minutes

5 minutes later……

大家根據我們之前推導出來的公式anbn=（ab）n,

因此我們可以把第（1）小問拆成：

（-0.125）2018×82018×8

而0.125×8=1，則就可以達到簡算的目的。

（1）（-0.125）2018×82019

解：（-0.125）2018×82019

  =（-0.125）2018×82018×8

  =（0.125×8）2018×8

  =1×8

  =8

按照乘方計算，我們也可以把（2）小問轉成一下算式：

(7×72-6×72-1)÷（-214+214-24）

以下計算就很簡單了。

（2）

[73-6×(-7)2-(-1)10]÷(-214-24+214)

解：

[73-6×(-7)2-(-1)10]÷(-214-24+214)

=(7×72-6×72-1)÷（-214+214-24）

=[72×（7-6）-1] ÷（-214+214-24）

=(72-1)÷(-24)

=48÷（-24）

=-2

 

簡便運算我們就學到這兒了,最後我們來看一道全新的題型。同樣也很簡單。

但首先我們得拓展一個知識點，一個數的指數代表有幾個數相乘。

an:n個a連乘。

a3n:3n個a連乘。

a3n的因數是an的3倍，則a3n= an×an×an

3n=n＋n＋n,因此可得出，兩數底相同，指數存在倍數關係，是幾倍就是等於幾個小者連乘。

看例3

例3：若a2n=5,求2a6n＋1的值

1 minutes later……

知道證明的原理這題就異常簡單了。

解：2a6n =2×a2n×a2n×a2n

∵  a2n=5

∴  2a6n=2×5×5×5=250

∴2a6n＋1=250＋1=251

答：2a6n＋1的值是251

   這就是本期的內容，最後一道難題，咱們放到下期單獨講。

最後給大家拜個年，謝謝您們的支持！祝福大家牛年大吉！

 

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