初中數學必刷好題021-直角三角形內切圓和旁切圓經典模型+結論

2020-12-09 陪你學數學

掌握直角三角形的內切圓和旁切圓經典模型+結論，可以幫助我們在遇到和此模型有關的題目時快速利用結論得出答案，大大提高解題效率。

在學習直角三角形內切圓和旁切圓的模型和結論之前，先看看一個熱身題，看看你多少秒可以得出答案。

熱身題：如下圖，圓O和圓P分別是直角三角形ABC的內切圓和旁切圓，AB=4,AC=5,求OP的長度。

內切圓和旁切圓

我們先學習模型和結論，然後再來快速解決這個題目。

一.直角三角形內切圓模型和結論：

如圖1，圓O是Rt△ABC的內切圓，設圓O的半徑為r,AB=c,AC=b,BC=a。

結論：2r=a+c-b

半徑r=（兩直角邊的和-斜邊)/2

直角三角形內切圓模型

證明：

由圓O是直角三角形ABC的內切圓，可知AO，BO,CO是Rt△ABC的內角平分線，

OE=OF=OD,四邊形EDBE是正方形。

易證△CFO△CEO(AAS),∴CF=CE

同理可證：AF=AD,BD=BE

∵AD=c-BD=c-r，AF=b-CF=b-CE=b-(a-r)

∴c-r=b-(a-r),即：2r=a+c-b，半徑r=（兩直角邊的和-斜邊）/2

二.直角三角形旁切圓模型和結論：

如圖2，圓P是Rt△ABC地旁切圓。設圓O的半徑為r,AB=c,AC=b,BC=a

結論：2r=a+b-c

半徑r=（相鄰直角邊+斜邊-不相鄰斜邊）/2

直角三角形旁切圓模型

證明：由圓P是直角三角形ABC地旁切圓，可知AP,CP,BP分別平分∠CAB,∠BCN和∠CBM，PM=PN=PK,四邊形KBMP是正方形。

易證△PAN△PAM(AAS),∴AN=AM

同理可證：CN=CK,PK=PM

∵AM=c+r，AN=b+CN=b+CK=b+(a-r)

∴c+r=b+(a-r),即：2r=a+b-c，半徑r=（相鄰直角邊+斜邊-不相鄰斜邊）/2

三.用模型和結論快速解題

努力完成以下鞏固練習，加深對模型的理解，加強運用。

練習：

如圖，AB是圓O的直徑，D是左半圓弧的中點，E是右半圓上一點，P是三角形ACB的內心，PM⊥BC，求(PM+OB)/CD的值。

內切圓和對角互補模型結合

此題需要用到上文結論和對角互補模型，其實都是比較簡單容掌握的知識。所謂的難一些的題目也就是把幾個其實你會的知識點糅合到了一起，只要你耐心地去拆解題目，答案慢慢就出來了。

下文預告：在實戰中快速識別和運用內切圓和旁切圓模型+結論

前文連結：初中數學必刷好題016 一文學透圓中垂直弦的重要模型和結論

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