法國高等科學研究院（IHES），位於法國巴黎郊外的一個從事數學和理論物理的基礎研究的私立研究機構。在上海舉辦世博會期間，該院聯繫到法國館，於2010年10月12日在法國館的報告廳,舉辦了一個極富特色的「會見解碼者」公眾報告會，由八位法國頂級的數學家與中國數學家一起，為中國公眾做了一系列的學術報告，目的是吸引公眾來了解一些現代數學，會見一些在一線工作的第一流數學家。數學家們以公眾可以接受的語言,深入淺出地介紹現代數學的一些美妙結果，這樣的大數學家和公眾見面交流的機會，在世界範圍內都是不多見的。本文即是其中一位中國數學家劉克峰教授的報告《物理激發的數學》。
曾經有一些偉大的數學公式改變了人類歷史的進程,如牛頓的第二力學定律,F=ma，愛因斯坦的質能方程,E=mc^2,以及牛頓的萬有引力定律。這些公式極其簡單,卻蘊含了萬物的相互作用和變化規律。今天我們能夠製造飛船登上月球,能夠利用核能量為人類服務,這些公式為此提供了重要的理論基礎。這些美妙的公式也印證了老子的名言:「大道至簡。」
古今科學家們都堅信，數學是表達大自然規律最好的語言。任何科學理論最終和最完美的表達方式應該是數學方程式。愛因斯坦曾說過：「政治是暫時的，而數學方程式是不朽的。」作為數學家和物理學家，我們苦苦追尋的就是這樣的方程式，它們簡單、漂亮，能夠深刻地揭示大自然的奧秘。
歷史上有許多偉大的數學物理學家，比如阿基米德，他發現了槓桿原理和窮竭法；牛頓，發現了萬有引力定律，發明了微積分；歐拉，發現了流體力學的歐拉方程和數學的變分法；高斯，發現了電磁場的高斯定律，也奠定了微分幾何基礎；愛因斯坦，其廣義相對論不僅是宇宙學的基礎，也推進了現代微分幾何與微分方程的發展。
愛因斯坦：「人生就像騎單車，想保持平衡就得往前走。」
在歷史上，最成功的兩個物理理論是量子場論和廣義相對論
許多主要的數學領域，也是由於物理的刺激而發展起來的，如微分方程、微分幾何、算子代數等等。我這裡要闡述的是近三十年來由弦理論激發出的一系列數學成果。
在歷史上，最成功的兩個物理理論是量子場論和廣義相對論，他們分別精確地描述了微觀世界裡的粒子和宏觀世界裡的星球的運動規律。量子場論中的基本方程是薛丁格方程，廣義相對論的基本方程是愛因斯坦場方程，它們在一定程度上卻互不相容。從愛因斯坦開始，幾代物理學家夢寐以求的就是將這兩組方程統一到同一個理論框架下，這樣大至星球，小到粒子這些宇宙萬物的運行規律和相互作用都由這一組方程式來描述。這就是大統一理論，被人們稱為「萬有理論」，或者「終極理論」。經過幾代物理學家的努力和無數次的失敗，弦理論到目前為止被認為最有希望完成大統一的夢想。弦理論的基本假設是，宇宙最基本的粒子是一些高速震蕩的弦。就像振顫的小提琴琴弦給我們美妙的旋律一樣，弦理論中這些震動的弦作為最基本的元素構成了我們五彩繽紛的世界。
大統一理論應該是唯一的，但是在過去三十年間，弦論學家們發展了五種自恰的弦理論，這五種理論看起來很不相同，但每一種都很合理地揭示了一些物理中的奧秘。在1994年的第二次弦理論革命中，威滕提出了M-理論將這五種理論聯繫在一起，發現它們彼此是通過弦對偶互相等價的。
我們說兩種理論相互對偶，如果他們可以描述同一種物理現象。過去十幾年間，弦對偶已經產生出了很多驚人的數學與物理成果。把在不同的弦理論中的計算公式通過對偶等同起來，人們得到了許多令人嘆為觀止的數學公式和方程。
數學中的流形翻譯於英文的manifold，取自於文天祥的著名詩句：天地有正氣,雜然賦流形，下則為河嶽,上則為日星。
弦理論中一個最基本的研究對象是卡拉比—丘流形。數學中的流形翻譯於英文的manifold，取自於文天祥的著名詩句：天地有正氣,雜然賦流形，下則為河嶽,上則為日星。它可以描述任何可以用局部平坦空間所覆蓋的物體。在1976年，丘成桐先生證明了著名的卡拉比猜想，此猜想斷言，任何第一陳類為零的特殊流形，叫作緊凱勒流形，都具有黎奇平坦的度量，這一類流形現在被稱為卡拉比—丘流形。而這裡的陳類是以陳省身先生的名字命名的一種深刻的幾何不變量，由陳先生在上世紀四十年代所發現。
復三維的卡拉比—丘流形在弦理論中非常重要，它們代表著弦理論所需要的，我們目前無法看到的四維時空之外的六維空間。弦理論斷言，有了這神秘的六維空間，就有了萬有理論。
通過比較不同弦理論的數學描述，人們常常發現意外而深刻的數學猜想，得到許多令人興奮的數學結果。比如鏡對稱，大N陳—賽蒙斯與拓撲弦理論的對偶。而所有這些又往往與卡拉比—丘流形緊密地聯繫在一起。
通過弦對偶，人們找到了實三維流形的拓撲幾何與復三維流形的復幾何之間的驚人聯繫。很多困難的數學計算，在轉化到實的三維空間後變得異常簡單。而實三維和四維空間中的一些意想不到的聯繫也通過復三維的卡拉比—丘流形被發現。基於對偶理論的猜想和新的想法，許多困難的數學問題得到解決，而這些新的方法和結果又往往是數學家們此前連做夢都想不到的。這些來自弦對偶的猜想的解決又反過來幫助物理學家最精確地驗證了這些物理理論的正確性，這也是當今世界還無法用傳統的試驗方法能夠做到的。
為了讓大家能夠對歷史上數學與物理之間激動人心的交融有所了解，我這裡介紹幾個我過去二十年間親身經歷的例子。我們將看到卡拉比—丘流形與弦對偶在這些進展中所起的奇妙作用。
我的第一個例子是IIA與IIB兩種弦理論的對偶，這也被稱為鏡對稱理論。這種對偶的一個基本的假設是，一個卡拉比—丘流形都有它的一個鏡像，它們描述等價的物理理論。通過鏡對稱理論得到的最驚人的數學發現是著名的坎德拉斯鏡公式。這個1991年發現的公式曾經令數學界與物理學界都興奮異常。它使得數學家們開始密切關注弦論的進展，而物理學家們也開始學習最深刻的數學。這裡涉及的數學問題有近百年的歷史。數學家們一直想要計算出，對每一個給定的正整數，我們稱作階，在一個特殊的卡拉比—丘流形，即五次卡拉比—丘超曲面中有多少條有理曲線。用更通俗的語言就是說在這個特殊的卡拉比—丘空間中，對每一個階，我們能夠放進多少個球。當階為1的時候，我們知道為2875，而階為二的時候為60925。這兩個數字的計算曾花費了數學家上百年的時間。
令人驚奇的是，這個問題在IIA弦理論的計算中也出現了，他們把這些數叫做瞬子數。通過鏡對稱理論，坎德拉斯研究小組把這個問題轉化為IIB弦理論中一個簡單的，計算鏡像卡拉比—丘流形的周期問題，而這只需要求解一個常規的四階常微分方程。這樣我們就可以一下子非常輕鬆地算出所有想要的數字。比如3階時，我們得到317206375；而10階時，我們會得到704288164978454686113488249750。坎德拉斯公式在1997年由我與連文豪、丘成桐以及吉文圖分別獨立證明。
陳省身、楊振寧、丘成桐是三位偉大的華人科學家。陳省身的重要貢獻包括陳—韋伊理論和陳—賽蒙斯理論，這都與他的陳類相關;除了以宇稱破缺獲得諾貝爾獎；楊振寧在理論物理中以楊—米爾斯方程和楊—巴克斯特方程最為著名;丘成桐則以卡拉比—丘流形,正質量猜想的證明而廣為人知.他們的這些貢獻在數學與理論物理中都有劃時代的意義.我們將看到他們的工作通過弦對偶理論深刻地聯繫在一起。
在過去二十年間,通過幾何工程化技巧,弦論學家們已經成功地把陳—賽蒙斯、楊—米爾斯理論等同為弦理論的一部分。通過弦對偶,人們發現了許多與扭結不變量,黎曼面模空間等有關的驚人而美妙的數學公式。這其中很關鍵的工具是諾貝爾獎獲得者特胡福特的大N展開技巧,就是在李群SU(N)中令Ｎ趨於無窮，並以此發現全新的現象。
1986年，當代偉大的弦論學家威滕首先意識到陳—賽蒙斯理論是一種量子場論，並用它構造出了扭結不變量，即著名的瓊斯不變量。隨後數學家用量子群重新構造了扭結與三維流形的不變量，這樣陳—賽蒙斯不變量就可以通過量子群來構造。而量子群中最基本的方程就是楊—巴克斯特方程。
黎曼面的模空間是經過幾代偉大數學家的發展而成為數學許多學科中最基本的研究對象，對許多研究領域的發展起到了重要的作用，許多數學工具也都可以應用到模空間的研究中去。
計算模空間上的浩治積分是很重要也很困難的數學問題。從1980年開始，經過近十年的努力，數學家們也只能計算出一些很簡單的特例。直到1990年，威滕根據物理中的矩陣模型與二維引力場的對偶作了一個驚人的猜測，認為一大類浩治積分的無窮生成函數滿足一系列的偏微分方程。1992年，康切維奇證明了這個猜想，這揭開了這個研究領域激動人心的序幕。在2007年，通過找出威滕方程的循環精確解，我與徐浩證明了著名的法波猜想。數學家法波1992年提出的這個猜想給出了無窮多個浩治積分精巧的顯式表達式。
在過去的二十年間裡,通過對卡拉比—丘流形做手術,威滕、大慄博司、瓦法等一批弦論學家把陳—賽蒙斯理論系統地發展成為弦理論的一部分。基於這一理論,在2001年,對於一大類浩治積分的無窮生成函數,馬利諾和瓦法提出了一個由陳—賽蒙斯不變量表達的有限閉公式猜測。在2003年,我與劉秋菊、周堅一起證明了這個漂亮的公式。而前面提到的威滕猜想和其他幾個有關浩治積分的著名公式都可以通過對馬利諾—瓦法公式求極限來得到。
弦論學家拉巴斯提達、馬利諾、大慄博司、瓦法等進一步發展了陳賽蒙斯理論並將其與M理論聯繫在一起。2000年他們作出了另一個驚人的猜測，我們稱作LMOV猜想。他們的猜想宣稱由無窮多個陳—賽蒙斯扭結不變量組成的生成函數具有不可思議的代數性質並可以轉化成另一個整係數的生成函數。在2007年我與彭磐一起證明了LMOV猜想。
在上面的幾個例子裡，我們從弦理論中學到了生動的一課。很多時候計算單個的積分也許會非常困難，但把無窮多個積分放在一起的生成函數可能會很容易一起算出來，因為這些生成函數往往滿足一些猶如天賜的規律和方程。
受弦論學家的啟發，數學家們發展了一系列新的猜測來理解一些不變量的整性，而這些新的不變量本質上都是從陳—賽蒙斯或者楊—米爾斯理論中來的。到這裡我們看到，陳省身、楊振寧、丘成桐這三位偉大的華人科學家的工作通過弦理論密切地聯繫在了一起。
數學中還有其他許多由物理啟發出來的激動人心的發展。數學家唐納森在1980年用楊—米爾斯理論革命性地推動了四維拓撲學的進步；物理學家賽博格—威滕在1996年發現了著名的新方程，再次革新了低維拓撲學。受弦理論的啟發，在2002年，佩雷爾曼擴展了哈密爾頓的黎奇流，這是他開始解決龐加萊猜測的出發點。1986年數學家與弦論學家們互相啟迪，並一起發現了橢圓虧格，把幾何中的指標理論與數論中的模形式神奇地聯繫在一起，而指標理論中的關鍵是物理學家狄拉克發明的狄拉克算子。1990年，通過研究共形場論，弦論學家維林德發現了著名的維林德公式，給出了黎曼面上平坦向量叢模空間上一個奇妙的公式，這立刻刺激了這個領域的飛速發展。數學家辛欽受物理的啟發，構造了西格斯模空間，而這個模空間是2010年費爾茲獎得主吳寶珠解決基本引理的基礎。
綜上所述，我們看到，弦理論幫助數學家們發現了數學中許多主流分支之間不可思議的聯繫，他們的想法和遠見幫助數學家解決了許多極為困難的數學問題。由此，物理的大統一理論引發出了數學大統一理論的可能性。從這個意義上講，我們也許可以說：「上帝是個數學家。」
最後，我想把愛因斯坦的一個有趣的公式送給國內的孩子們。令A代表生活中的成功，X代表工作，Y代表玩耍，Z代表閉上嘴巴。那麼，我們有A=X+Y+Z。我想說的是現在的孩子們也許玩兒得太少了，過多的考試消磨了他們創造力，所以我們的教育至今還沒有培養出大師。
演講者介紹：劉克峰，1965年12月生，現任浙江大學數學中心執行主任兼數學系主任、光彪講座教授、美國加州大學洛杉磯分校數學系教授。專業方向：微分幾何、拓撲、數學物理。劉克峰教授先後在國際一流雜誌上發表學術論文70餘篇。現任國際頂尖數學雜誌《幾何與分析通訊》主編。他榮獲了全球華人數學最高獎「晨興數學金獎」和2004年國家教育部十大科技進展。他還獲得了國際上著名的谷庚海默獎、全球華人數學家大會銀獎、Sloan獎、Terman獎等。
本文來源：光明日報