線性代數知識點掃盲(一輪)

2021-03-02 混沌屋

       朋友們好，今天起我將完成一項拿張宇36講對照19年及以前真題的考點進行掃描並且預測考點的任務，作為開篇，我會首先研究線代，一起來瞧瞧吧~線性代數一共六章：分別是行列式、矩陣、向量、方程組、相似（特徵值）、二次型。一起來瞧瞧吧！（ps：本次複習為知識點掃盲，具體怎麼出題是三輪複習的事情）

       第一章：行列式

       行列式的題型有兩種，抽象型和具體型的計算。

       在具體型行列式的計算中，歷年來考到的考點有：加邊法、遞推法、數學歸納法、分塊矩陣行列式、加邊法、還有直接展開法和特徵值法。這幾種考法的難度都不算大。各種網課老師也都基本會著重展開講，我覺得2021把這裡作為考查難點的可能性不大，最多一個小題。而在抽象型行列式的計算中，歷年來考到的知識點有左行右列定理（AP=PB）的應用、|AB|=|A||B|以及行列式為特徵值的積的知識點。

     值得注意的未著重考察的考點：行列式的單行可拆性拉普拉斯行列式、範德蒙行列式。值得特別注意的考點：用方程知識求行列式（線性代數9講例1.17）和用行列式/特徵值解決餘子式相關的計算問題（線性代數9講P24知識結構的相關知識）雖然我編不出題，但感覺這個知識點很有可能在大題的某一步發揮作用。

       第二章：矩陣

       矩陣的題型有矩陣運算、伴隨、求逆、初等變換、矩陣方程。

       在矩陣運算中，歷年來考過：相似對角化/試算法求A的n次方、矩陣的乘法結合律、秩為1的矩陣還原成列向量和行向量的積。而在矩陣的伴隨和逆中，歷年來考到的知識點有伴隨矩陣和原矩陣秩的關係、伴隨矩陣和行列式的關係（公式）、特徵值和可逆的關係、E的恆等變形。而在初等變換和矩陣方程中，歷年來考到的知識點有根據變換寫初等矩陣、寫出初等矩陣的逆、直接求解矩陣方程。

       值得注意的未著重考察的考點：矩陣方程中A不可逆轉化為線性方程組問題的求解，待定元素法求解二階矩陣方程。值得特別注意的考點：r(A)+r(B)<=r(AB)+n（線性代數9講P66(9)）和A和對角陣相似時，秩等於非零特徵值個數（線性代數9講P68的相關知識）以上兩條宇哥的閉關修煉課也著重講了。

       第三章：向量

       向量的題型有線性表出、相關無關、秩、向量空間。

       在線性表出中，歷年來考過：左行右列表示法，方程組解決線性表出相關問題（用初等行變換/用秩）。而在相關無關和秩中，歷年來考到的知識點有用定義法、用C矩陣法求秩、用方程組方法求極大無關組、用伴隨矩陣秩的性質反推矩陣的秩。而在向量空間中，歷年來考到的知識點有過渡矩陣的定義、規範正交基的求法。

       值得注意的未著重考察的考點：向量組的等價條件（與矩陣等價的區別）。值得特別注意的考點：定義法研究抽象型向量間的關係（即證明是否若且唯若k全為0時等式成立）（線性代數9講P118注）。

       第四章：線性方程組

       線性方程組的題型有齊次（非齊次）線性方程組、解的結構、公共解問題。

       在齊次（非齊次）線性方程組中，歷年來考過：通解、基礎解系、非零解（基本都和秩或者求解方程組的過程掛鈎）。而在解的結構中，歷年來考到的知識點有用秩來探究線性方程組無關的解的個數問題。而在公共解問題中，歷年來考到的知識點有聯立方程組求公共解、用秩判斷公共解的存在性、同解方程組條件判斷。

       值得注意的未著重考察的考點：給兩個基礎解系，求公共解。值得特別注意的考點：線性方程組的幾何意義（數一）（線性代數9講P96的相關知識）。

       第五章：相似理論（特徵向量特徵值）

       相似理論的題型有特徵值特徵向量、相似、實對稱矩陣的性質。

       在特徵值特徵向量中，歷年來考過：定義法求特徵值特徵向量、秩為1的矩陣特徵值的性質。而在相似中，歷年來考到的知識點有用相似的必要條件（跡、行列式相同等）、相似對角化的條件、求相似時的可逆矩陣P。而在實對稱矩陣的性質中，歷年來考到的知識點有實對稱矩陣可相似對角化、用正交矩陣把實對稱矩陣相似對角化。

       值得注意的未著重考察的考點：正交矩陣的定義和相關性質（線性代數9講P159）。值得特別注意的考點：用矩陣方程隱晦透露特徵值特徵向量信息（線性代數9講P137）。

       第六章：二次型

       相似理論的題型有標準形、正定、合同（慣性指數）。

       在標準形中，歷年來考過：定正交變換法和配方法求標準形、標準形的幾何應用。而在合同（慣性指數）中，歷年來考到的知識點有用二次型正定轉化為齊次方程組只有零解（定義、特徵值、順序主子式）、求慣性指數得規範形。

       值得注意的未著重考察的考點：二次形的矩陣表示（線性代數9講P177）。值得特別注意的考點：用正交變換法求標準形相關的最值問題（線性代數9講P187例9.10）。


       作為一輪複習的知識掃盲第一部分就到這裡了，以後會有更生動的講解的，大家拭目以待~

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