《玩不夠的數學》是這樣一本書，本來在你正在做拼圖、堆積木、畫畫之類的事情，然後，慢慢的，他層層誘導，你發現你居然玩的是數學！下面一個在牆壁上掛畫的問題，最後變成了一個自由群的研究問題。
橋段：
在牆上釘兩顆釘子，用最簡單、自然的方法將一幅畫掛在這兩顆釘子上。如果一顆釘子掉了，繩子和畫依然掛在另一顆釘子上（見下方上圖）。數學家不禁要問：有沒有辦法將繩子掛在這兩顆釘子上，使得一旦拔掉其中任意一顆，畫就會掉下來？我們把這種方法稱為「波傑掛法」，以紀念傑羅姆· K. 傑羅姆筆下的著名人物——總也掛不上畫的波傑叔叔（參見「波傑叔叔掛畫」）。這個問題和工業上的故障自動保險系統類似，即一旦某個部分出現故障，整個機器會隨之停下。
美國的一個團隊結合了趣味數學、代數拓撲和算法學來研究掛畫問題。其成員包括麻省理工學院的埃裡克·德曼因、馬丁·德曼因、羅納德·裡維斯特（Ronald Rivest，RSA 加密算法中字母 R 的來由），耶魯大學的雅伊爾·明斯基，紐約州立大學石溪分校的約瑟夫·米切爾和弗拉罕公園 ATT 實驗室的米哈伊·帕特拉什庫。
掛畫謎題首次被提出要追溯到 1997 年，斯皮瓦克將這一難題登載在數學趣味雜誌《量子》（Quantum）上。從此，這個小問題演繹出眾多變化，促使人們不斷摸索數學中的通用方法，並由此推導出一些美妙卻不盡簡單的定理。
為了說明如何僅拔掉兩顆釘子中的一顆便可使畫掉下，請觀察旁邊的下圖，或拿根繩子來試一試。我們可以慢慢嘗試找出答案。然而，有一種方法能一下子就得出答案，甚至歸納出通用解法，我們將其命名為「n 顆釘子問題」，即將掛著畫的繩子纏繞在 n 顆釘子上，使得拔掉 n 顆釘子中的任意一顆，畫框都會在重力的作用下摔落在地。
化簡繩子的纏繞方式繩子纏繞方式 x』yy』xz (A) 可以化簡成 x』xz，進而化簡成 z。這意味著，拉動依 x』yy』xz 纏繞的繩子，我們得到的結果其實就是纏繞方式z。當一種纏繞方式所對應的表達式可以完全化簡時（結果為 1），只要一拉繩子畫就會掉下來。我們來看看對繩子纏繞方式 xy』xyyx』zyz』x』 (B)，拔掉一顆
釘子會有什麼影響。為了判斷拔掉釘子 y 的結果，我們將所有 y 和 y』 從該表達式中去掉，然後再化簡，即 xy』xyyx』zyz』x』 = xxx』zz』x』 = xxx』x』 = xx』 = 1。如果拔掉釘子 y，畫就會掉下來。但是，如果拔掉釘子 x，畫會依然掛在牆上，因為去掉 x 和 x』 之後的表達式變為 y』yyzyz』，最終只能化簡為 yzyz』。如果拔掉釘子z，表達式也只能化簡為 xy』xyyx』yx』，畫也會依然掛在牆上。
《用數學的語言看世界》本來是大慄博司教授寫給女兒的數學啟蒙讀物，然而小編讀了發現，裡面涉及的數學是很深的！伽羅瓦理論、不完備定理、密碼學都有涉及，而且從它們的歷史背景開始講。在聽故事中穿插理論，不得不說，這能降低對數學知識本身的理解難度。下面就是在介紹非歐幾何的時候，他的講述。
橋段：
我們一眼就能看出球面和雙曲面等二維平面是彎曲的。不過既然我們生活在二維平面內，又怎麼能知道平面的彎曲程度呢？
19 世紀的英國作家埃德溫·艾勃特在其小說《平面國》中描述了二維平面世界的模樣。該小說的主人公 A. Square 和在三維空間中自由運動的「球」成為了朋友，並接受了「球」的邀請來到了三維世界，才發現自己生活的世界是一個平面世界。A. Square 因為突然進入了三維世界才意識到平面國是平面世界，除此之外是否還有其他方法能夠理解平面國的形狀。
1818 年，高斯在漢諾瓦國王的拜託下為其領地進行了三角測量。三角測量是指先將需要測量的土地分割成三角形，然後通過測量每個三角形的邊長和角度來判定土地形狀和面積大小的方法。而且為了測量土地，高斯發明了新工具（日光反射儀），在歐洲引入歐元前，德國流通的 10 元馬克紙幣的正面印著高斯肖像，背面印著漢諾瓦王國領地的三角形分割和日光反射儀。
高斯利用漢諾瓦王國的三角測量數據計算了 Hohen Hagen、Brocken以及Inselsberg 這三座山所構成的三角形的內角和。既然我們已經知道球面三角的內角和與 180° 存在偏差那麼代入三角形內角和公式
內角和 = 180 + 720 × (三角形面積)/4πr²
應該能計算出地球的半徑 r。這也許就是當時高斯想要確認的。遺憾的是，當時因為測量精度不夠，最終無法計算出微小的角度偏差。不過關於如何測量二維平面的形狀，高斯這個經驗得到了重要的提示。
我們先聯想一張平整的紙，在這張紙上可以使用歐幾裡得幾何。而且三角形內角和等於180°，所以平行公理也成立。然後我們將紙折彎或者擰轉，除非紙破了或者變大了，否則二維平面內兩點之間的距離不會發生變化。因此仍然可以使用歐幾裡得幾何。例如在紙上寫下證明勾股定理的證明過程，即使紙被折彎或者擰轉了，定理的證明過程又不會發生變化。同樣，除非住在平坦紙面上的居民離開這張紙，否則他們根本意識不到紙張已經變彎。
高斯認為，二維平面的彎曲程度只限於外觀。不過，也存在不僅限於外觀的彎曲程度。球面、平面、雙曲面上的三角形內角和公式均不同。高斯提出了一個叫「曲率」概念，來區別圖形表面的彎曲程度。
假設平面國的居民想要了解自己所居住的二維平面是什麼形狀，因此他們學高斯測量漢諾瓦王國的領地，對自己居住的世界進行三角測量。如果二維平面的彎曲程度接近球面，那麼其三角形內角和應該大於 180°，從與180°的偏差中就能推算出球面的半徑。反之，內角和就小於180°，彎曲程度接近雙曲面。
不過，二維平面不僅限於球面和雙曲面。還有類似橄欖球的平面，兩端的尖頭彎曲程度較大，中間部分彎曲程度較小。所以，如果在尖頭處作一個三角形，其內角和肯定遠大於180°，中間部分的三角形內
角和卻接近於180°。只要測量出內角和與180°的偏差，就能計算出表面的彎曲程度。
在橄欖球的表面，作圖的位置不同，三角形內角和的數值也不盡相同。為了更準確地測量每個位置的彎曲程度，只要作圖時把三角形畫小即可。但是如果三角形變小，那麼角度的偏差也會變小。回想一下前面講過的球面三角的計算公式，即
內角和 -180 = 720 × (三角形面積)/4πr²
觀察上述公式可以發現，內角和減去 180° 得到偏差與三角形面積成正比。
因此高斯在思考
(內角和 -180)/(三角形面積)
之比時，發現不管是多小的三角形，其數值也都不會等於 0。從上述比中思考三角形面積變小的極限就是高斯曲率。
橄欖球表面的彎曲程度因位置而不同。橄欖球表面的居民不用從外部觀察，就能測量表示彎曲程度大小的高斯曲率。方法就是進行三角測量。只要觀察每個三角形的每個點旁邊的具體情況，就能判斷表面是如球面正面彎曲呢？還是如雙曲面負面彎曲呢？以及當時的彎曲程度的大小又是如何呢？
高斯證明了曲面上的幾何是由曲率所決定，並稱之為「神奇定理」。
也許德國舊 10 元馬克紙幣背面的圖形代表的不是漢諾瓦王國領地的三角測量，而是這條「神奇定理」。
本套《玩不夠的數學》、《用數學的語言看世界》合集一共2本，全套定價74元。
請點擊閱讀原文購買，或者長按掃描二維碼訂購。
三本數學史哲書，幫你理解數學思想的進化
了解數學的全貌：《普林斯頓數學指南》
寶寶的量子物理學繪本
聖彼得堡數學學派研究
《應用隨機過程》：精算、人工智慧、機器學習必備知識
中國科學技術大學數學精品教材三件套
《普林斯頓微積分讀本》：內心獨白的方式講述數學
兩本可把數學公式當插圖的數學科普書