最值問題分代數最值和幾何最值兩類，其中代數最值主要考查方程與不等式及函數的性質，而幾何最值涉及到圖形的性質、圖形的變化、圖形與坐標多個維度.因其既能考查學生知識的靈活運用能力，又能更好的體現試題的區分度和效度，成為近幾年數學學科中考命題教師偏愛的壓軸題型之一.
初中數學幾何最值問題考查的知識要點主要有以下四個方面（1）公理：兩點之間線段最短（「將軍飲馬」問題、「螞蟻爬行」問題、「阿氏圓」問題、「兩邊之差」問題）（2）公理：垂線段最短（「跳遠」問題、「胡不歸」問題）（3）定圓中的最長弦是直徑（「不定圓」問題）（4）點和圓的位置關係（「360°旋轉」問題、「軌跡隱圓」問題）.
解決此類問題的常規方法是:建模——識模——用模.下面通過一道經典問題來說一說幾何最值分析求解之道。
問題：在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，將△ABC繞頂點C順時針旋轉，旋轉角為θ（0°＜θ＜180°），得到△A1B1C．
（1）如圖1，當AB∥CB1時，設A1B1與BC相交於D．證明：△A1CD是等邊三角形；
（2）如圖2，連接AA1、BB1，設△ACA1和△BCB1的面積分別為S1、S2．求證：S1：S2＝1：3；
（3）如圖3，設AC中點為E，A1B1中點為P，AC＝a，連接EP，當θ＝ °時，EP長度最大，最大值為______．
【分析】（1）當AB∥CB1時，∠BCB1＝∠B＝∠B1＝30°，則∠A1CD＝90°﹣∠BCB1＝60°，∠A1DC＝∠BCB1+∠B1＝60°，可證：△A1CD是等邊三角形；
（2）由旋轉的性質可證△ACA1∽△BCB1，利用相似三角形的面積比等於相似比的平方求解；
（3）連接CP，當E、C、P三點共線時，EP最長，當△ABC旋轉到△A1B1C的位置時，此時θ＝∠ACA1＝120°，EP＝EC+CP＝1/2a+a＝3/2a．根據圖形求出此時的旋轉角及EP的長．
本題考查了旋轉的性質，特殊三角形的判定與性質，相似三角形的判斷與性質．關鍵是根據旋轉及特殊三角形的性質證明問題．
【解答】（1）證明：如圖，∵AB∥CB1，
∴∠BCB1＝∠B＝∠B1＝30°，
∴∠A1CD＝90°﹣∠BCB1＝60°，∠A1DC＝∠BCB1+∠B1＝60°，
∴△A1CD是等邊三角形；
（2）證明：由旋轉的性質可知AC＝CA1，∠ACA1＝∠BCB1，BC＝CB1，
∴△ACA1∽△BCB1，
∴S1：S2＝AC2：BC2＝1^2：（√3）^2＝1：3；
（3）：如圖，連接CP，當△ABC旋轉到△A1B1C的位置時，
此時θ＝∠ACA1＝120°，EP＝EC+CP＝1/2a+a＝3/2a．
故答案為：120，3/2a．
【收穫檢測】
如圖，直角邊長為6的等腰Rt△ABC中，點D、E分別在直角邊AC、BC上，DE∥AB，EC＝4．
（1）如圖1，將△DEC沿射線AC方向平移，得到△D1E1C1，邊D1E1與BC的交點為M，連接BE1，當CC1多大時，△BME1是等腰直角三角形？並說明理由．
（2）如圖2，將△DEC繞點C旋轉∠α（0°＜α＜360°），得到△D1E1C，連接AD1、BE1、邊D1E1的中點為F．
①在旋轉過程中，AD1和BE1有怎樣的數量關係？並說明理由；
②連接BF，當BF最大時，求AD1的值．（結果保留根號）
【提示】（1）如圖1中，連接EE1，當CC1＝2時，△BME1是等腰直角三角形．利用平移不變性解決問題即可．
（2）①AD1和BE1相等．證明△BE1C≌△AD1C，即可解決問題．
②當點F在BC的延長線上時，BF最大為6+2√2．
【解題反思】
1、從「數」的角度——構造與所求線段長有關的不等關係
用來求最值的常規模型就是不等式，而與線段長有關的不等關係，最常見的就是三角形的三邊關係。所以上述三題，核心思路都是構造出與目標線段有關的三角形，然後藉助三角形的三邊關系列出與目標線段有關的不等式進行求解。本題由三邊關係得EP≤CE+CP（共線時相等），本題中CE、CP為定值(思考為什麼CP是定值)，所以EP最大=CE+CP。從數的角度看，本題藉助幾何關係構造與變化線段有關的不等關係，解題的本源模型是不等式。雖是幾何題，但離不開代數的技能。
2、從「形」的角度——分析動點的運動軌跡，直觀感受線段的長短變化
深入思考後，我們可以描述出題目中動點的運動軌跡，想像出線段長短變化的動態過程。先通過動圖直觀感受下。
通過動態描述，更能夠直觀感受到線段長短變化的過程，並形象的驗證了之前藉助不等式所獲得的數量結論。請同學們思考題中動點的運動軌跡應該如何描述，為什麼是這樣的軌跡？