1. 基本問題說明
「求函數值域」是常見的基礎應用之一。
該基礎應用或者獨立出題，如直接求值域、最值等，或者與其它基礎應用綜合在一起出題，如恆成立、存在性問題等，其求解時一般需要先求出值域或最值。
2. 解決問題的一般方法
(1) 常見函數求值域一般方法（分類歸納總結）
① 一次/二次函數
a) 一次 – 利用「端點」範圍；
b) 二次 – 利用「開口和對稱軸位置」；或者利用配方法；
c) 含參時，要分類討論。
② 對勾函數（原理 - 均值不等式）
y=ax + b/x（a>0, b>0）；ax=b/x時，得其第一象限最值點（√(b/a), 2√ab）
③ 分式函數
a) 簡單一次分式函數y=c/(ax+b)
先求分母，再求整體
b) 一般一次分式函數y=(cx+d)/(ax+b)
c) 二次分式函數
提示：判別式法，在滿足條件——x的定義域為R時有通用的方法，即當分子或分母有二次，可兩邊同乘分母，再解判別式不等式即可得y的範圍。
y=(ax2+bx+c)/x
直接除後，如果ac>0，可以用對勾函數求解；如果ac<0，可以用單調性求解（提示：此時ax和c/x有相同單調性）
y=x/(ax2+bx+c)
分子分母同除x，然後用上述一樣思路求解即可。
y=(ax2+bx+c)/(dx+e)
換元t=dx+e，然後類似上述方法解答。
y=(dx+e) /(ax2+bx+c)
換元t=dx+e，然後分dx+e=0和0兩種情況；不等於0時可按類似上述方法解答。
④ 根式函數
只有一個根式時，如y=x+√x， 可用換元法，t=√x；有些題也可用平方法——根式在一邊，其餘在等式另一邊，再兩邊平方以去根號。提示：無論是換元還是平方，都要留意定義域的轉化（傳遞要一致！）。
提示：其它常見基本初等函數，如反比例函數、冪函數、指數函數、對數函數、三角函數等，可利用這些函數的性質、結合區間端點等去求解（詳見相關主題，這裡不再贅述）。
(2) 求值域的常用方法
① 直接法– 適用於函數或其圖像特性易觀察或得到
直接利用函數性質和定義域，通過觀察、分析求出值域
② 配方法– 適用於二次函數及其複合函數
③ 判別式法– 適用於二次函數
④ 換元法– 適用於根式、三角情形
複合函數思想，由內而外，一層一層求值域；反之，如果給定值域，求其它（如參數值），則由外而內去求！
⑤ 反函數法 – 適用於反函數的定義域更方便求得或表示，如分母含一次函數的分式
反函數的定義域為原函數的值域。
⑥ 單調性法 – 適用於求複合函數的值域或最值
根據單調性和定義域範圍求解
⑦ 導數法– 適用於導數易求、零點和單調性易分析的情形
導數是用來求極值點和單調性的更便捷且通用的方法！因此用來求某些題型值域時很方便，有時還可避免不必要的討論。
因複合函數求導後式子看上去很複雜，為了避免這種情況出現，可先換元，或則考慮改用其它方法。
⑧ 數形結合法（又稱圖像法）– 適用於某些客觀題求解，或作為上述方法的輔助
⑨ 不等式法
利用重要不等式及其性質來求解，如基本不等式（均值不等式）。
⑩ 參數方程法(詳見例題)
提示：需要時，先對函數整理、變換（如分離常數），以看清函數的特徵及其適用方法；
提示：需要時，可多種方法結合使用。
提示：在學過選修2-2的導數部分後，同學們會掌握一種更具普遍適用性的方法——通過導數法求極值、最值或值域。
3. 典型示例
例1求函數y = 1/(1+x^2)的值域。
解：（直接法）因為1+x^2大於1,所以0<1/(1+x^2 )≤1
所以函數的值域為(0,1]。
例2求函數y= √(x+1) + √(x-1)的值域
解：（單調性法）由題可知，該函數的定義域為[1, +∞)。
當x≥1時，該單數單調遞增，而f(1)= √2
所以該函數值域為[√2,
講解：
① 本題示例了利用單調性求解值域的一般方法
(1) 先確定定義域，得其端點；
(2) 說明其單調性（遞增或遞減）；
(3) 代入端點得值域。
② 提示：端點或上、下界可以是∞。
例3 已知函數f(x)＝(2x2+bx+c)/(x2+1)的值域為[1,3],求實數b,c的值。
講解：
① 本題利用判別式法求解值域。提示：注意該通用方法的適用前提條件。
② 解題過程中，理解並將已知條件與判別式正確地聯繫起來是關鍵。
例4 求下列函數的值域：
(1) y=(2x+1)/(x-3)，
(2) y=x+2√(1+x)，
(3) y=(x^2-x+1)/(2x^2-2x+3)。
例5 求函數y=|x-3|-|x+1|的值域.
解：解法1：（數形結合法）可以分類
例6 求函數y=√(x-3) + √(5-x)的值域.
解：（平方法）函數定義域為:x∈[3,5]
y^2=(x-3) + (5-x) + 2√(-x^2+8x-15),
由x∈[3,5]，得：(-x^2+8x-15)∈[0,1]
所以y^2∈[2,4]，又y>0，
所以所求值域為[√2,2]。
例7 求函數y=x+√(1-x2)的值域
解：（參數方程法）
因為-1≤x≤1,設x=cosθ, θ∈[0, π],
y=cosθ+|sinθ|=cosθ+sinθ=√2sin(θ+π/4)∈[-1,√2]，
所以所求值域為[-1,√2]。
講解：
例8函數y=x+1/x+1的值域
解：（基本不等式法）
當x>0時，x+1/x≥2,
所以y≥3,
當x<0時，x+1/x≤-2,
所以y≤-1,
綜上可知，原函數值域為(-∞,-1)∪(3,+∞)。
例9求函數y=（4x+3）/(x^2+1)的值域。
本文小結:
① 本文論述了「函數值域"相關問題的求解一般方法與技巧。大家平時練習或作業中，應多加以應用和體會，查漏補缺，直至能夠熟練掌握和應用這類問題的常用方法與技巧。
溫馨提示：本文屬於高中數學必修1第13講。關注百家號「輕快學習課堂」，可閱讀所有相關文章。