佐佐木力（1947-2020）
日本數學史學家和左翼學者。畢業於東北大學數學系並獲學士和碩士學位，後在普林斯頓大學師從麥可·馬奧尼研究數學史並獲博士學位，亦曾在託馬斯·庫恩指導下學習科學哲學。先後任東京大學、中國科學院大學和中部大學教授。早年研究17世紀西方數學史，後轉向研究東亞科學史，在東西方數學史、科學史甚至是醫學史領域，成績斐然。一直關注和研究馬克思主義及社會主義。晚年倡導跨文化科學哲學。
翻譯 ｜ 徐光惠
校對 ｜ 羅 棟
在古希臘出現了以歐幾裡得的《幾何原本》為代表作的公理化（axiomatic）數學。古希臘人將數學對象理想化，並要求給出命題（proposition）的嚴格證明。公理化的數學體系是古希臘最偉大的成就之一。公理化數學是從定義和公理出發，通過嚴格的證明步驟來推導（deduced）出其它的命題。
中國古人主要通過算法計算來直觀地進行數學訓練，這可以從公元前1世紀的《九章算術》中體現出來。儘管數學在美索不達米亞、埃及和古中國的發展是相互獨立的；但在某種程度上，古中國的數學是包括古巴比倫數學、古埃及數學和中國傳統數學在內的古代東方數學的最高形式。這兩種數學實踐的原型代表著兩種重要的數學價值觀：確定性和實用性。
公理化數學的知識和社會背景：
廣泛的懷疑主義和Agon（對抗）的社會
古希臘，不僅形成了嚴密的數學證明，而且形成了系統的公理化方法。關於公理化數學的知識和社會背景，本文提出一種新的論點：（1）數學中公理化的出現是為了使數學擺脫懷疑主義哲學趨勢的束縛；（2）古希臘人強調「agôn（對抗或競賽）」提升了公理化方法在數學中的地位。我們不應當限制皮浪派和學院派中的懷疑主義哲學趨勢的發展。皮浪之前的柏拉圖和亞里斯多德的思想中已經出現了懷疑主義的傾向，這種傾向似乎已經對歐幾裡得之前的哲學和數學家都產生了強烈的影響。
狹義上，一般認為是亞里斯多德之後的皮浪派建立了懷疑哲學，但是希臘的懷疑哲學早期有其開創性的形式。懷疑主義者中止判斷有五種模式：源自於爭辯的模式；無窮的倒退模式；相對論的模式；假設的模式；循環模式。這對於公理化數學是必不可少的，並且與亞里斯多德的嚴格證明理論有一定的關係。
在希臘社會中「agon」的概念使得靠批判性思維去統治社會成為可能，並且要求數學家進行嚴格的證明，從而促使了公理化數學的形成。
公元前8世紀，隨著人口激增海外殖民地化加劇，一場猛烈的軍事改革也開始實施。貴族時代的繁盛時期出現了帶著「大圓盾」和「鐵矛」的「重甲步兵」(hoplites)，而且他們開始與堅固的「方陣」並肩戰鬥。現在普遍認為這些沉重的武器是在公元前8世紀末出現的，而方陣的作戰形式則出現在公元前7世紀。一些歷史學家認為《伊裡亞特》中有關於方陣策略的故事。
強調對抗或競賽的政治制度是如何確立的？希臘社會史中的關鍵性的轉折點是城市的「戰鬥特殊主義（militant particularism）」的發展，隨之城市具有了「城邦」(Polis)的典型特徵。」希臘作為一個海洋國家培養和發展了許多多元化的「城邦」。以適於戰爭為起點的發展最終給出了保衛的職責，以及自耕農（independent agrarian burgher）享有的政治權利；這些自耕農在「古典」時期初期就已經開始用自己的武器武裝自己。皇家集權政體的政治地位不斷下降，而「用自己的武器武裝自己的自耕農」的地位不斷上升，這在希臘城邦政治的形成中扮演著重要的角色。在「用自己的武器武裝自己的自耕農」的歷史的描述中，只有「重甲步兵（Hopliten）」在從「貴族城邦」到「公民的民主城邦」轉變中出現的「重裝備城邦」中佔有重要的地位。這種農民士兵以鐵甲取代了青銅的長矛和箭，並且接受了群體戰役的訓練。
韋伯認為：希臘是一個海洋國家，這有效的防止了專橫的君主獨裁制度的形成；第二部分是關於希臘重甲步兵的特殊作戰方式。在希臘中央集權的皇家政體未能形成；貴族城邦出現之後，利用重甲步兵的戰爭策略使得公民的民主城邦大受鼓舞。或許我們不能將建立民主城邦的起因簡單歸咎於重甲步兵的出現，但是以重甲步兵為主的作戰模式對於主權掌握在平民手中的政府建立民主起到了很大的幫助。
在某種程度上，agon得到了發展並轉變成幾乎覆蓋整個希臘社會的典型的民族精神。韋伯做了更進一步的討論：「世界上沒有任何其他的共同體曾把對抗或競賽這樣的制度發展到如此重要的程度，以致讓它主導了所有的利益、藝術實踐乃至像柏拉圖對話式的辯論那樣的社交活動。」甚至認為「柏拉圖對話式的辯論」與競賽的概念有一定的關係。換句話說，「柏拉圖對話式的辯論」肯定是「辯論競賽」。甚至這種談話的藝術是一種agon的民族精神的表現。
軍事上激進的改革提高了重甲步兵的社會地位，而且導致了一個民主政體的建立。對於雅典的民主城邦來說，重甲步兵的社會階層扮演著重要的角色。在第三類等級的士兵之下是所謂的「第四等級」，這些人是戰列艦上的划槳能手。第三等級和第四等級的人，特別是重甲步兵會為他們的政治權利發聲。以市民與重甲步兵為核心要求「權利的平等」，包括「平等的言論自由」，而不是只有貴族才享有的一般意義上的「平等的權利」。因此，貴族時期之後與民主政體之前的公元前5世紀初期，人們認為各種各樣的「公民自由」在雅典城邦中已經制度化。
依照修昔底德（Thucydides）的《歷史》（卷Ⅱ，37）記載，這時期的政治家伯裡克利（Pericles）在公元前431年到公元前430年的國家葬禮上為死去的士兵做了一次著名的演說，呼籲戰爭職責的重要性。在那次演講中，伯裡克利公開宣布：「我們的政府被稱為民主政體，這是真實的。因為它的管理掌握在大多數人手裡，而不是少數人手裡。」對於修昔底德來說，歷史是一所努力去理解其未來的民主制的學校。
這正是公元前4世紀早期的蘇格拉底在柏拉圖的《理想國》（557B）中所說的社會背景：「他們不是自由的嗎？城邦不確確實實充滿了行動自由與言論自由嗎？不是每個人都被準許想做什麼就做什麼嗎？」由於哲學思考的自由發展，具有保證「自由的言論」這一特徵的城邦自然特別重要。
下一個重要的問題可能是，「一個人反對他所處社會中主流觀點的可能性有多大？」古希臘社會中的言論自由起源於公元前6世紀埃利亞學校的色諾芬尼（Xenophanes），他被認為是懷疑思想先驅中的哲學家之一。
希臘數學中的嚴格證明的精神正是希臘「批判精神」的寫照。「critical」這個詞來自希臘形容詞「κριτικóζ」意思是「敏銳的判斷力」。這種心智與邏輯辯證有一定的關係，並且最終是「對抗或競賽文化」的一種闡述。古老的奧林匹克運動會最繁盛的那段時間差不多恰好是希臘數學最活躍的一千二百年。數學家和運動員都採取公開的方式來進行自我展示。隨著懷疑哲學鼓勵與主流的教條不同的意見，擁有嚴格標準的公理化數學成為是agon社會的產物。
亞里斯多德的《雅典政制》（第60章）中寫道，雅典城邦的風俗是這樣的：他的「執政官」（Archons）指揮其成員來主管慶典，音樂比賽、體育比賽及賽馬，並給競賽獲獎者頒獎。換句話說，市民們為了名譽在民主城邦的各種競賽中相互競爭。這似乎與歐幾裡得公理化數學的風格相似，在公理化數學中定理的證明與問題的建立是從第一原理或者說起點開始進行的。
希臘數學的模式並不比其它任何數學實踐要好。希臘的數學模式與中國的數學模式是相互補充並且不可通約的。
公元前8世紀之前，希臘數學和中國數學似乎沒有本質上的區別。根據李約瑟的看法，哲學上的「諸子百家」在公元前500年到公元前250年間到達鼎盛時期。但是，隨著中國第一個統一的王朝秦朝的出現，官方的思想佔了主導地位。約公元前1世紀的漢朝時期，為了官僚的使用，學者們創作了中國最重要的數學著作《九章算術》。一般認為這本書形成了中國傳統數學的模式或風格。直到20世紀初的清朝末期，《九章算術》一直是中國數學的代表作，並被認為「是中國式『歐幾裡得幾何學』」。
這裡應當提到《九章算術》的三位評論家沈康身、約翰·克羅斯利（John N. Crossley）和倫 ( John N. Crossley)的看法：
即將進入21世紀，或許我們比先前的數學家更樂意去欣賞這部著作。在西方,數學是建立在希臘傳統基礎之上的，它最重要的概念是邏輯證明，提供算法往往佔據次要地位。在東方，根據中國的傳統，重點是提供算法並產生正確的結果。實際上，為了做數學運算，健全的邏輯學基礎與精確地實際應用這兩個方面同等重要。直到最近只有中國數學中的傑出算法吸引了西方的注意力，但可以明確的是數學家們，如劉徽、祖衝之以及他的兒子祖恆，都極其關注算法，這就表明算法是合乎邏輯的。
李約瑟在《中國科學技術史》中似乎認為中國人本質上就是實用主義者。儘管《九章算術》主要是為了官僚的使用而編寫的，但書中從沒有忽略實用數學的起源。中國傳統數學通常通過算法運算來獲益是東方數學的最高形式。
《九章算術》正如其字面上的意思一樣由九章構成。儘管不是最早的數學著作，但它被認為是中國傳統數學中最重要的數學典籍。此書內章節分別為：「方田」「粟米」「衰分」「少廣」「商功」「均輸」「盈不足」「方程」「勾股」，所有的章節都來源於日常實踐，但在某些部分達到了理論上的高度複雜。
例如，第四章關於少廣的內容。首先，少廣法則即除法，一個整數之和為被除數，單位分數為除數；其次，提取平方根法則；第三，提取立方根法則。《九章算術》就寫到這裡了，但是後繼的數學家特別是11世紀的賈憲和13世紀的秦九韶，嘗試將《九章算術》中的二階、三階延伸到高階方程。這可以看做天元術高階方程數值解方法的起源。
第八章是關於方程，這一問題上應當提到兩位數學家。一位是日本江戶時代的數學家關孝和（Seki Takakazu），另一位是中國清朝的數學家梅文鼎。關孝和寫了一本名為《解伏題之法》（Kaifukudai-no-ho）的專題著作，即在多個未知量的方程式中引入結式（resultant）的概念來解決問題。現在結果證明當時他在發展五階行列式時犯了一個錯誤。但是，最近歷史學家發現關孝和與他的追隨者在隨後的著作中成功地得到了正確的法則。梅文鼎曾起草《矩陣理論》一書，其中的確用消去法來解決線性方程問題。至今還不確定關孝和與梅文鼎是否注意到《九章算術》中劉徽關於這一方法的注釋。但是可以肯定的是傳統的數學在東亞確實存在，也的確曾使用矩陣或行列式等概念。
《九章算術》也涉及幾何問題。第九章對於直角三角形的討論涉及勾股定理，與之對應的是西方所謂的「畢達哥拉斯定理」。當代數學家吳文俊「出入相補原理（Out-In Complementary Principle）」解釋如下：這一法則來自如下兩個步驟1）當圖形從一個平面上嚴格地移動到另一個平面上時，平面圖形的面積保持不變；2）如果一個平面圖形被分割成幾部分，這幾部分區域的面積之和等於原先圖形的面積。因此，第九章中的勾股法則可以被看做上述的出入過程的一個應用。
《九章算術》具有實用和算法模式的特點。其中「算法」一詞來源於公元9世紀初期古典伊斯蘭教花拉子米（Al-Khwarizmi）的名字。花拉子米曾著《代數學》一書，並因此被認為是代數學這個新學科的創始人。拉謝德的專題著作《花拉子米：代數學的開端》：「花拉子米的書在更深層次上是基礎性的，這與代數學內部固有的新的可能性有關。代數學實際上使得那時不可能想像的事變得可能：為了繼續擴展數學學科的應用，產生新學科——代數學中的算法的應用，幾何學中的代數學，代數學中的幾何學，三角學中的代數學等等。」
中國的算法數學與阿拉伯的算法數學不同。中國的算法數學是利用算籌，這是一種工具化的算法，不同於現在用紙和筆的書寫形式的算法。算籌是用竹子或是木棍製成的，並用紅色的代表正數，藍色的代表負數。中國的珠算精確起源並不知道，然而可以確定的是在宋朝時期隨著商業革命人們開始使用算盤，而且從那時起它成為東亞人在當今的電子計算機出現之前的主要計算工具。
然而，阿拉伯的代數學是用一些書寫工具在板或紙上做一些數學計算形成的。8世紀，穆斯林開始跟中國唐朝的造紙工學習如何造紙。花拉子米的代數學著作完全是用阿拉伯語寫的，因此沒有表示未知數的符號。因此，他的代數是一種「修辭代數學」。16世紀末，耶穌會傳教士從歐洲來訪問中國如利瑪竇，中國人了解到了阿拉伯的代數學的數學書寫形式；儘管不能完全否認的是，在此之前的宋朝和元朝時期他們通過阿拉伯語的商人和知識分子已經了解了阿拉伯的代數書寫方式。
中國數學家和數學史學家吳文俊在他的論文集《吳文俊論數學機械化》中一直強調，歐幾裡得的公理化數學與算法的或是代數的數學是互相補充的，「笛卡爾的態度似乎與中國古人的看法相似。無論如何解析幾何方法的創造打開了機械化的大門，不僅打開了解方程的大門，更是打開了證明定理的大門，無論這些機械化開始出現的有多遲。」但是笛卡爾的數學思想是來源於伊斯蘭世界而不是中國。
中國古代數學的實用和算法的模式似乎是由其知識背景和社會背景決定的。為了從軍事上保護自己，建立一個抵禦鄰國遊牧入侵的整體防衛體系就顯得尤為重要，也是中國為何從其早期開始就成為一個中央集權國家的主要原因。此外，農業的穩定需要大量人力的共同努力來提供必要的排水和灌溉。這些社會條件導致中國成了一個專制的社會。
但是，在公元前221年首次由秦朝統一中國之前，東周有過一段蓬勃發展並充滿活力和創造力的時期，「諸子百家」在中國早期哲學的產生過程中進行了非常活躍的討論。費正清等學者指出，「人們常常被東西文化在這一時期的平行發展而觸動。這一時期，中國出現了知識大爆發，希臘哲學處於全盛期，以及希伯來先知，歷史上的佛陀和印度早期的宗教領袖的出現。整個文明世界在這一時期是驚人的哲學活躍期。」墨子學派提倡「兼愛」、和平主義及實用主義，對邏輯問題感興趣。
人們或許會傾向於認為公元前8世紀之前希臘與中國的知識和社會條件沒有什麼本質的區別，儘管這一觀點可能會有相當大程度的誇張。但是，隨著第一個統一的中國王朝秦朝的出現，秦始皇在公元前213年下令將所有的書都燒掉，除了諸如醫學、農業、佔卜以及秦政府律令等有用的書，並且在接下來的一年對文人行刑。這種集權鎮壓知識分子的行為標誌著古中國思想的凋零。當時只允許狹隘的道德哲學和孤立的思辨。
概括而言，隨著專制思想模式的勢不可擋，中央集權體制下的官僚主義變得更加強大，結果很可能會使嚴格證明的批判精神受到了禁錮。另一方面，為了維護社會和政治方面的穩定，中央集權的國家鼓勵日常生活中的有用的技術的發展。
這些歷史條件為數學的發展提供了模具，根據這一模具中國古代數學創建了其實用和算法的模式。然而它的證明方式並不像希臘數學的證明那麼嚴格。人們理所當然地認為這是中國古代數學的缺點。與此相反，希臘數學或許是由於太過於強調證明的嚴謹性，因而公理化方式很容易忽略掉數學實踐的有用性。
約公元前1世紀的漢朝時期，中國的經典數學著作《九章算術》主要是為了官僚的實際使用而創作的。這本書形成了中國傳統數學的模具或風格。然而，我反覆強調我們不能認為中國傳統數學的模式次於古希臘的公理化的數學。至少，它試圖呈現一個直觀的證明形式，而且擁有一種發現和適當檢驗數學過程的方法。中國數學無疑比較關注方法的合理性和結果的正確性。他們的證據不是歐幾裡得的公理化的證據，但是它們仍然是證據；而且明顯地能夠建立其所提供的解決方案的真實性或正確性。為了確定這樣一個認識論的觀察，我們數學史家必須繼續建立中國傳統數學的精確的歷史圖像。中國的數學有著很高的務實性，它很可能提供一個與古希臘的公理化數學相對應的獨創的數學思想。
安託格納茲阿告訴我們一個非常重要的事，「在萊布尼茲為柏林社會科學所作的引人注目的座右銘中，他的理想是將『理論和實踐』（Theoria cum Praxi）嫁接。」「理論」與「實踐」嫁接正是上述一直在討論的在古希臘與古中國數學發現和論證的兩種原型。