在數學界有一個由來已久的做法，那就是把該領域一分為二。有一種傳統的「應用vs純理論」的爭論，這反映了其他學科的實驗—理論的分歧，把知識推向一個特定的目標和為了自身目的而去做它之間的緊張關係。或者，我們可以像分割大腦一樣分割數學，用代數的「左腦」按邏輯順序思考，用幾何的「右腦」以更直觀的方式思考。但這個領域也根據一個更微妙的區別而細分：一個人在兩種數學美之間的偏好。
首先，對於非數學專業人士來說，很難把數學看成是美的。當然，美在觀者的眼中，但當數學藝術隱藏在黑暗中，被難以穿透的符號和術語所遮蔽時，也很難看清。試圖欣賞數學而不了解其內在的工作原理，就像讀貝多芬第五交響曲的描述而不是聽它。
然而，數學家們對於認真地描述他們的方程和證明，認為它們是美麗的。這是一種被證明非常普遍的審美，存在於不同的文化和時代：一個巴比倫的數學家和一個現代學生可以在研究平面幾何中的完美線條排列或解一個二次方程中找到同樣的樂趣。
粗略地說，數學之美有兩種形式，一般的和特殊的。
第一種美是一種縹緲的美，體現在形式結構和模式上。這是一種對數學世界不可阻擋的秩序的驚奇感。想想這些自然數在無限行中是多麼美。或者考慮增加維數的歐氏空間序列：一條線，一個平面，一個空間，等等。或者形式邏輯本身的嚴謹性和精確性。這些結構是難以置信的強大和有用的，而且從某種角度來看確實是美麗的。
但對於大多數人，當然也包括大多數非數學家，很難對n維向量空間的概念或實線上的連續函數感到真正興奮。欣賞這些想法就是欣賞一種抽象的形式，而這種美感常常讓人感覺冷冰冰的、形式化的。
數學之美的第二種形式更有關聯性。它涉及規則的例外，不屬於任何更大類別的對象。這些是珍奇之物是17、18世紀充滿自然歷史陳列櫃的迷人化石和奇怪礦物的數學化身。這種美給人一種非常不同的感覺：它充滿異國情調、奇特、親切——當然，也相當主觀。
舉例來說，考慮一下十二面體，它是許多數學寶庫中最受歡迎的物件。它是由12個五邊形組成的正立方體，它是五個完全對稱的固體之一。十二面體作為神秘事物的象徵有著悠久的歷史，可以追溯到古希臘，當時柏拉圖提出了五種物體（現在被稱為柏拉圖立體）和物理宇宙之間的聯繫。
十二面體象徵著所有的天體——恆星和行星，每一個在形狀和運動上都是完美的。從那時起，這種數學形式就代表了外星人，它也成為鍊金術士和佔星家喜愛的符號。從現代數學的角度來看，它仍然被認為是例外的，它是少數完全獨立的對稱物體之一，不屬於任何更大的圖案的一部分。例如，將一個立方體或四面體推廣到任意維度的類似對象是很容易的，但是沒有高維的類似十二面體的東西。
另一種數學上的例外，被稱為怪物。它是最大的「建築塊」，其中所有的對稱群可以構建，一個數學上的怪物，只能在不少於196,883維的空間裡被想像出來。根據你的喜好，怪物群要麼是所有數學中最漂亮的，要麼是最難看的。
多年來，這兩種美都令數學家們著迷，並帶來了許多進步。抽象顯然是一種強大的工具。它允許一個人同時處理一個群組的所有成員，它把問題放在一個更廣闊的視角。追隨「冰皇后」的數學家通常不喜歡具體的應用或具體的例子——抽象代數大師之一亞歷山大•格羅森迪克曾以57作為質數的例子而聞名。對數學上的棄兒的迷戀也是一種富有成效的策略。這樣的對象通常生活在多個想法的交叉點，可以作為一個接入點之間的完全不同的世界。這種風格的狂熱者不喜歡「抽象的胡言亂語」，而是珍視具體情況的特性。
但現實世界與理想的數學世界是截然不同的。大多數科學都與描述真實世界的宇宙聯繫在一起，但這只是無數數學可能性中的一種。據報導，讓-皮埃爾·塞爾對他的數學家同事拉烏爾·博特打趣說：「當其他科學在尋找上帝為這個宇宙選擇的規則時，我們數學家在尋找連上帝都必須遵守的規則。」
面對這個存在主義的問題——宇宙實際上遵循的是什麼定律？但科學已經告訴我們，數學之美的抽象而嚴峻的形式往往能提供一個更安全的長期選擇。
在天文學家約翰內斯·克卜勒的早期研究中，柏拉圖立體的出現就是一個著名的證明。他提出了一種基於行星軌道之間的距離的太陽系模型，該模型基於五個固體的特定構型。這是一個美好的想法，但註定要失敗。後來，克卜勒自己否定了這個模型，因為他得出結論說，行星的軌道並沒有形成一個完美的圓，而是有一個醜陋的橢圓，它可以是各種形狀中的一種。這似乎是絕對的倒退。他把這一發現比作被遺棄在骯髒的科學馬廄裡的一輛「裝滿糞肥的馬車」。
但是，當克卜勒最初被他對特殊物體的偏愛引入歧途時，艾薩克·牛頓根據他的萬有引力理論繼續解釋行星的橢圓軌道。事實上，他展示了所有的天體運動都是圓、橢圓、雙曲線和拋物線。美在於牛頓的抽象定律，而不是具體的解。
這是物理學家和科學家們已經學過很多次的經驗教訓。在19世紀，科學家們從抽象數學轉向了對自然世界更系統的研究。生物學家開始收集一組生物的所有標本，而不僅僅是最美麗的蝴蝶或鳥類，並發現了進化論。化學家對所有元素進行了分類，超越了簡單的銀和金，並在這個過程中揭示了周期表的模式。物理學家隨後揭示了隱藏在這些元素原子中的基本粒子的對稱性。
每次，他們都發現宇宙之美在於物理現象背後的抽象結構。一開始，這些結構可能會讓人感到困惑，難以理解，但從長遠來看往往更有效、更有意義。而且，的確，更美