大旋轉角坐標變換非迭代公式

2021-12-31 測繪科學

摘 要

針對求解７參數的過程中，經典的線性化最小二乘法因需線性化、迭代及初值以及存在算法耗時出現不收斂現象的問題，該文對無須迭代的７參數坐標變換公式進行了研究。為避免各類參數間的相關性，採用消去法並按照依次求解旋轉參數、比例係數和平移參數的順序解得坐標變換參數。先利用最小二乘法求解旋轉參數，然後通過構建目標函數的方式求解比例係數與平移參數，最終得到無須線性化、無須迭代、無須初值的，可用於大旋轉角的７ 參數坐標變換公式。與線性化最小二乘方法進行相比，該方法具有相當的精度及更高的運算效率，可在一定程度上豐富坐標變換理論。

引用格式：邊少鋒，李忠美，紀兵，等．大旋轉角坐標變換非迭代公式［Ｊ］．測繪科學，２０１７，４２ （９）：４３-４８．

正 文

在測量學中，研究坐標系間變換模型對於實現不同坐標系成果轉換具有重要的實際價值及理論意義。實現坐標變換需要解求７ 個參數，其中包含３個旋轉參數、３個平移參數和１個比例係數，其經典的解算步驟是將其線性化後利用最小二乘法通過迭代逐漸趨近求解， 這種方法思路清楚，易於理解， 但是在初始值不好的情況下， 極易出現迭代不收斂的情況。因此， 國內外學者曾嘗試不同的方法來改善傳統的解法，如將高斯雅可比組合算法或Ｇｒｂｎｅｒ基理論應用到７ 參數求解中，利用計算機代數系統求解各變換參數的表達式。文獻［７］ 考慮了數據的先驗觀測信息，為每個觀測點賦予合適的權值， 推導出了帶權的７參數求解非線性化模型；文獻［８］ 提出了以方向餘弦為參數， 適用於任意角度旋轉的坐標轉換簡便模型；文獻［９-１０］引入四元數來描述旋轉矩陣，給出了基於四元數的非迭代坐標變換模型；文獻［１１］ 通過對任意兩組觀測點的坐標作差並對其單位化，依次求解各變換參數最終實現無須初值、無須線性化的求解方法； 文獻［１２］綜合考慮了兩個坐標系統的觀測誤差， 給出了嚴格的三維變換非線性模型；文獻［１３-１５］ 利用總體最小二乘的方法， 通過建立目標函數求得使其極小的７參數。

可以說，關於坐標轉換的研究已取得了卓有成效的成果。考慮到坐標變換中旋轉矩陣為正交矩陣，可利用斜對稱矩陣對其進行表示。但文獻［４-６］ 並沒有充分利用這一優勢，所給出的７參數變換方法過程繁瑣，而四元數方法又增加了待求參數的個數。鑑於此， 為豐富坐標變換理論，為大旋轉角坐標變換提供一種穩定模型， 受以上文獻啟發，本文擬藉助斜對稱矩陣表示旋轉矩陣，通過構建目標函數推導出可適用的大旋轉角的，無須初始值、無須線性化、無須迭代的７參數坐標變換公式。

根據旋轉矩陣的正交特性，利用斜對稱矩陣對其表示，在不增加待求參數個數的前提下， 通過將觀測數據重心化、單位化， 依次單獨求解旋轉參數、比例係數及平移參數， 避免了各類參數間相關性引起的病態問題， 得到可用於大旋轉角的坐標變換公式。與傳統線性最小二乘法相比，該公式具有無須線性化、無須迭代、無須初始值的優勢，可以避免因初始值不好而引起的迭代不收斂問題，同時減省了因迭代而引起的時間耗費。當對時效性要求較高或傳統線性化最小二乘方法不收斂時，本文７參數坐標變換非迭代公式可以作為一種選擇，一定程度上豐富了坐標變換數學基礎。

2017年（第42卷）第9期

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