大家好，歡迎走進周老師數學課堂，每天進步一點點，堅持帶來大改變。今天是2019年3月1日，我分享的內容是與切線有關的引輔助線技巧。
一.作圓的切線
作已知圓的切線，再利用切線的性質、弦切角定理、切割線定理來證題。⑴ 有直徑或半徑時，常過直徑、半徑的端點作圓的切線。⑵ 需要轉移角時，作弦切角。⑶ 有圓的割線，作切線，構造切割線基本圖形。⑷ 兩圓內、外切時，作公切線。
二.有切線時常見的輔助線
⑴ 連過切點的半徑，利用切線性質證題.⑵ 作過切點的弦，構造弦切角，利用弦切角證題。⑶ 作弦切角所夾弧所對的圓周角.⑷ 構造直角三角形，連過切點半徑、切線長、點心線(圓心與國外點連線)組成直角三角形，利用勾股定理證題。
三.證切線時常用的輔助線
⑴ 當已知直線經過圓上的一點，那麼連結這點和圓心得半徑，再證明所作半徑與這條直線垂直即可；⑵ 如果不知直線與圓是否有交點時，那麼過圓心作直線的垂線段，再證明垂線段的長度等於半徑的長即可。
四.有兩條切線時常用的輔助線
⑴ 連接圓心和兩條切線的公共點；⑵ 連結兩個切點；⑶ 連結過切點的半徑。
五.構造相交弦和切割線的基本圖形
⑴ 當圖形中只有割線的一部分時，常把它延長，補成割線，構造切割線定理及推論的基本圖形。⑵ 在圓內有弦的一部分時，常將其補成弦。
真題講解
如圖，已知 : C是以AB為直徑的半圓O上一點，CH丄AB於點H，直線AC與過B點的切線相交於點D，點E為CH中點，連接AE並延長交BD於點F，直線CF交直線AB的延長線於點G.
⑴ 求證：CG是⊙O的切線.⑵ 若FB=FE=2，求⊙O的半徑.
思路提示
1.本題涉及的知識點比較多，如切線判定定理、三角形相似的判定及性質、直徑所對的圓周角是直角、切割線定理、直角三角形勾股定理等等，同學們一定要熟練掌握這些定理，並能應用到實際解題中。
2.如證明一條直線是圓的切線常用的方法有：①若圖形中已給出直線與圓的公共點，但未給出過點的半徑，則可先連結過此點的半徑，再證其與直線垂直；②若圖形中未給出直線與圓的公共點，則需先過圓心作該直線的垂線，再證垂足到圓心的距離等於半徑。至於選取哪種方法，要結合題目圖形和已知條件。
解題步驟解：⑴連接OC、BC；
∵BD是⊙O的切線∴BD丄AB(過切點及圓心的線段垂直於該切線）∵BD丄AB， CH丄AB，∴CH//BD∴△AHE∽△ABF， △AEC∽△AFD(平行於三角形一邊的直線和其它兩邊(或兩邊的延長線)相交，所構成的三角形與原三角形相似)
∵△AHE∽△ABF ，△AEC∽△AFD∴HE/BF=AE/AF=CE/DF(相似三角形的三邊對應成比例）∵E是CH的中點∴CE=EH∵CE=EH，HE/BF=CE/DF，∴BF=DF即F是BD的中點∵AB是⊙O的直徑∴∠ACB=90°(直徑所對的圓周角是直角）∴∠BCD=90°∴∠BCD=90°F是BD的中點∴BF=CF=DF(直角三角形斜邊上的中線等於斜邊的一半)∵BF=CF∴∠BCF=∠FBC(等邊對等角）∵OB=OC∴∠CBO=∠OCB(等邊對等角）∵∠BCF=∠FBC ，∠CBO=∠OCB∴∠BCF+∠OCB=∠FBC+∠CBO∵BD丄AB∴∠DBA=90°∵∠DBA=∠FBC+∠CBO=90°，∠BCF+∠OCB=∠FBC+∠CBO
∴∠OCG=∠BCF+∠OCB=90°即OC丄CG∵OC丄CG，OC是半徑∴CG是⊙O的切線(過圓上一點且垂直於過該點及圓心的線段的直線是圓的切線）
⑵ ∵BF=CF， EF=BF∴EF=CF∴∠HCG=∠FEC(等邊對等角）∵CH//BD∴∠HCG=∠BFG(兩直線平行，同位角相等）∠FEC=∠AFB(兩直線平行，內錯角相等）∵∠HCG=∠BFG，∠FEC=∠AFB，∠HCG=∠FEC∴∠BFG=∠AFB∵∠BFG=∠AFB ，BD丄AB∴∠FAG=∠FGA∴AF=FG(等角對等邊），AB=BG(三線合一)∵EF=CF， FE=2∴CF=2∵CG是⊙O的切線∴CG*2=BG·AG(切割線定理）∵CF=2AB=BG，CG*2=BG·AG∴(2+FG)*2=BG·AG=2×BG*2∵BD丄AG∴BG*2=FG*2-BF*2(直角三角形勾股定理求值)∵BG*2=FG*2-BF*2(2+FG)*2=BG·AG=2×BG,BF=2∴FG·2-4×FG-12=0FG=6或FG=-2(捨去)∵FG=6，BF=2 ，BD丄AG∴BG=4×√2(直角三角形勾股定理求值)∵AB=BG，BG=4×√2∴OA=2×√2即⊙O的半徑為2√2。
規律總結
作圓的切線就是利用切線的性質來解決具體問題，作圓的切線時離不開切線定理、相交弦定理、切割線定理來解決問題，兩圓相切時，作兩圓的公切線也是為了「溝通」兩圓的關係而設立的「橋梁」，上述都是通過弦切角進行角的傳遞和等積式的傳遞。
今天的分享就到這裡，歡迎大家在評論區留下您的思路，讓我們共同討論，也許您的思路是最棒的。喜歡文章記得分享哦！
註：圖片來源於網絡，如有侵權，請聯繫刪除。了解更多
圓的基本性質，看例題學反思，搭建橋梁學方法
初中數學，如何解決有關圓周角定理的應用問題？讓我告訴你方法
數學培優，用好圓冪定理，是解決圓與直線問題的橋梁