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跨考教育訊：
一、矩陣的特徵值與特徵向量問題
矩陣的特徵值與特徵向量這一章節的內容可以歸結為三大問題：
1.矩陣的特徵值與特徵向量的概念理解以及計算問題
這一部分要求會求給定矩陣的特徵值與特徵向量，常考的題型有數值型矩陣的特徵值與特徵向量的計算和抽象型矩陣的特徵值與特徵向量的計算。若給定的矩陣是數值型的矩陣，則一般的方法是通過求矩陣特徵方程的根得到該矩陣的特徵值，然後再通過求解齊次線性方程組的非零解得到對應特徵值的特徵向量。若給定的矩陣是抽象型的，則在求特徵值與特徵向量的時候常用的方法是通過定義，但此時需要考慮的是特徵值與特徵向量的性質以及應用。
2.矩陣(方陣)的相似對角化問題
這裡要求掌握一般矩陣相似對角化的條件，會判斷給定的矩陣是否可以相似對角化，另外還要會求矩陣相似對角化的計算問題，會求可逆陣以及對角陣。事實上，矩陣相似對角化之後還有一些應用，主要體現在矩陣行列式的計算或者求矩陣的方冪上，這些應用在歷年真題中都有不同的體現。
3.實對稱矩陣的正交相似對角化問題
其實質還是矩陣的相似對角化問題，與2不同的是求得的可逆陣為正交陣。這裡要求考生除了掌握實對稱矩陣的正交相似對角化外，還要掌握實對稱矩陣的特徵值與特徵向量的性質，在考試的時候會經常用到這些考點的。這塊的知識出題比較靈活，可直接出題，即給定一個實對稱矩陣A，讓求正交陣使得該矩陣正交相似於對角陣;也可以根據矩陣A的特徵值、特徵向量來確定矩陣A中的參數或者確定矩陣A;另外由於實對稱矩陣不同特徵值的特徵向量是相互正交的，這樣還可以由已知特徵值的特徵向量確定出對應的特徵向量，從而確定出矩陣A.最重要的是，掌握了實對稱矩陣的正交相似對角化就相當於解決了實二次型的標準化問題。
二、二次型
二次型這一章節主要研究兩個方面的問題：
1.二次型的標準化問題
二次型的標準化問題與矩陣的對角化問題緊密相連，因此化二次型為標準形的問題就轉化成了實對稱矩陣的相似對角化問題。化二次型為標準形有兩種方法：一是正交變換法;二是配方法。從歷年考題來看，利用正交變化法化二次型為標準形是考研線性代數考查的重要方向，但是其實質就是實對稱矩陣的正交相似對角化問題，也就是說實二次型的標準化問題與實對稱矩陣的正交相似對角化問題是同一問題的兩種不同的提法，並且這兩種不同的提法在歷年考研真題的大題中是交替出現的，因此掌握了實對稱矩陣的正交相似對角化那麼實二次型的標準化問題也就迎刃而解了。另外，在沒有其他要求的情況下，利用配方法得到標準形可能更方便一些。本章節的內容除了會以大題的形式出現外，二次型的矩陣表示、二次型的秩和標準形等概念、二次型的規範形和慣性定理也是填空題、選擇題中不可或缺的一部分。
2.二次型的正定性判斷
此處的考點主要出現在填空題或者選擇題中，一般考查的有兩種形式的二次型：一是具體的數值型二次型;二是抽象的二次型。對於具體的數值型二次型來說，一般可通過判斷其順序主子式是否全部大於零來判別二次型是否為正定二次型;而抽象的二次型的正定性判斷可以通過利用其標準形、規範形中的係數是否都大於0，或者特徵值是否都大於0等得到證明，當然二次型的正定性判斷問題的順利解決是建立在熟悉二次型正定有關的充分條件和必要條件的基礎之上的。